Question

如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)M．P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）．分別過點(diǎn)A、B作直線CP的垂線，垂足分別為D、E，連接點(diǎn)MD、ME．

（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果），并證明△MDE是等腰三角形；
（2）△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（3）若將“P是拋物線在x軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P、M、C不在同一條直線上）”改為“P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)”，其他條件不變，△MDE能否為等腰直角三角形？若能，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）；若不能，說明理由．

Answer 1

（1）A（1，0），B（5，0），證明見解析
（2）△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，3）
（3）能。此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）。

試題分析：（1）在拋物線解析式中，令y=0，解一元二次方程，可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)。如答圖1所示，作輔助線，構(gòu)造全等三角形△AMF≌△BME，得到點(diǎn)M為為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)，從而得到MD=ME，問題得證。
在中，令y=0，即﹣，解得x=1或x=5，
∴A（1，0），B（5，0）。
如答圖1所示，分別延長(zhǎng)AD與EM，交于點(diǎn)F，

∵AD⊥PC，BE⊥PC，∴AD∥BE。∴∠MAF=∠MBE。
在△AMF與△BME中，
∵∠MAF=∠MBE，MA=MB，∠AMF=∠BME，
∴△AMF≌△BME（ASA）。
∴ME=MF，即點(diǎn)M為Rt△EDF斜邊EF的中點(diǎn)。
∴MD=ME，即△MDE是等腰三角形。
（2）首先分析，若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M。如答圖2所示，設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，證明△ADM≌△NEM，得到MN=AM，從而求得點(diǎn)N坐標(biāo)為（3，2）；利用點(diǎn)N、點(diǎn)C坐標(biāo)，求出直線PC的解析式；最后聯(lián)立直線PC與拋物線的解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。
能。
∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線x=3，M（3，0）
令x=0，得y=﹣4，∴C（0，﹣4）。
△MDE為等腰直角三角形，有3種可能的情形：
①若DE⊥EM，
由DE⊥BE，可知點(diǎn)E、M、B在一條直線上，而點(diǎn)B、M在x軸上，因此點(diǎn)E必然在x軸上。
由DE⊥BE，可知點(diǎn)E只能與點(diǎn)O重合，即直線PC與y軸重合，不符合題意。
故此種情況不存在。
②若DE⊥DM，與①同理可知，此種情況不存在。
③若EM⊥DM，如答圖2所示，

設(shè)直線PC與對(duì)稱軸交于點(diǎn)N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，∴∠EMN=∠DMA。
在△ADM與△NEM中，
∵∠DMA =∠EMN，DM = EM，∠ADM=∠NEM=135°，
∴△ADM≌△NEM（ASA）�！郙N=MA。
∵M(jìn)（3，0），MN=MA=2，∴N（3，2）。
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)N（3，2），C（0，﹣4）在拋物線上，
∴，解得。
∴直線PC解析式為y=2x﹣4。
將y=2x﹣4代入拋物線解析式得： ，解得：x=0或x=。
當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=時(shí)，y=2x﹣4=3。
∴P（，3）。
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，3）。
（3）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線在x軸下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，解題思路與（2）完全相同：
如答題3所示，設(shè)對(duì)稱軸與直線PC交于點(diǎn)N，

與（2）同理，可知若△MDE為等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)只能是點(diǎn)M。
∵M(jìn)D⊥ME，MA⊥MN，∴∠DMN=∠EMB。
在△DMN與△EMB中，
∵∠SMN =∠EMB，DM = EM，∠MDN=∠MEB=45°，
∴△DMN≌△EMB（ASA）�！郙N=MB。∴N（3，﹣2）。
設(shè)直線PC解析式為y=kx+b，
∵點(diǎn)N（3，﹣2），C（0，﹣4）在拋物線上，
∴，解得。
∴直線PC解析式為y=x﹣4。
將y=x﹣4代入拋物線解析式得：，解得：x=0或x=。
當(dāng)x=0時(shí)，交點(diǎn)為點(diǎn)C；當(dāng)x=時(shí)，y=x﹣4=�！郟（，）。
綜上所述，△MDE能成為等腰直角三角形，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）。