Question

如圖，拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)我，已知B點(diǎn)坐標(biāo)（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心P位置，并求圓心P坐標(biāo)；
（3）若D是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)D，使以P、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？如果存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）將點(diǎn)B（4，1）的坐標(biāo)代入可得：16a+6+2=0，
解得：a=-，
故拋物線的解析式為y=-a²+x+2．

（2）∵拋物線的解析式為y=-x²+x+2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），
∴AC²=AO²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，AB²=（OA+OB）²=25，
∵AC²+BC²=AB²，
∴△ABC為直角三角形，
∴△ABC的外接圓的圓心P位置在斜邊AB的中點(diǎn)處，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）．

（3）存在點(diǎn)D的坐標(biāo)．
①若BC為梯形的底邊，過點(diǎn)P作BC的平行線，交拋物線于點(diǎn)D，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
將點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：，
解得：，
故直線BC的解析式為y=-+2，
故可設(shè)直線PD的解析式為y=-x+c，
將點(diǎn)P的坐標(biāo)（，0）代入可得：-×+c=0，
解得：c=，
故直線PD的解析式為y=-x+，
聯(lián)立拋物線與直線PD的解析式：，
解得：或，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）或（，）．
②若BC為梯形的對(duì)角線，過點(diǎn)C作CD∥BP，交拋物線于點(diǎn)D，
此時(shí)點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2，將y=2代入拋物線解析式可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）．
綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（，）或（，）或（3，2）．
分析：（1）將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入可求出a的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）分別求出AC、AB、BC的長度，利用勾股定理的逆定理可判斷△ABC為直角三角形，從而確定△ABC的外接圓圓心在斜邊的中點(diǎn)；
（3）分兩種情況討論，①BC為梯形的底邊，②BC為梯形的對(duì)角線，分別求出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的外接圓圓心及直線與拋物線的交點(diǎn)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)于此類綜合性較強(qiáng)的題目，要求同學(xué)們熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)，并能將所學(xué)知識(shí)點(diǎn)融會(huì)貫通．