【題目】如圖,在正方形ABCD中,對角線AC,BD交于點OAG平分∠BACBDG,DEAG于點H.下列結論:①AD2AE:②FDAG;③CFCD:④四邊形FGEA是菱形;⑤OFBE,正確的有(

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】

根據(jù)正方形的性質和角平分線的定義得:∠BAG∠CAG22.5°,由垂直的定義計算∠AED90°22.5°67.5°,∠EDA∠EDG22.5°,得EDAG的垂直平分線,則AEEG,△BEG是等腰直角三角形,則ADAB2AE,可作判斷;證明△DAF≌△ABGASA),可作判斷;分別計算∠CDF∠CFD67.5°,可作判斷;根據(jù)對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形可作判斷;BGx,則AFAEx,表示OFBE的長,可作判斷.

解:①∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD90°,∠BAC45°

∵AG平分∠BAC,

∴∠BAG∠CAG22.5°

∵AG⊥ED,

∴∠AHE∠EHG90°,

∴∠AED90°22.5°67.5°

∴∠ADE22.5°

∵∠ADB45°,

∴∠EDG22.5°∠ADE,

∵∠AHD∠GHD90°

∴∠DAG∠DGA,

∴ADDG,AHGH,

∴EDAG的垂直平分線,

∴AEEG,

∴∠EAG∠AGE22.5°

∴∠BEG45°∠ABG,

∴∠BGE90°

∴AEEGBE

∴ADAB2AE,

不正確;

②∵四邊形ABCD是正方形,

∴ADAB,∠DAF∠ABG45°

∵∠ADF∠BAG22.5°,

∴△DAF≌△ABGASA),

∴DFAG,

正確;

③∵∠CDF45°+22.5°67.5°∠CFD∠AFE90°22.5°67.5°,

∴∠CDF∠CFD,

∴CFCD,

正確;

④∵∠EAH∠FAH∠AHE∠AHF,

∴∠AEF∠AFE,

∴AEAF,

∴EHFH,

∵AHGHAG⊥EF,

四邊形FGEA是菱形;

正確;

BGx,則AFAEx,

△BEG是等腰直角三角形,

∴BEx,

∴ABAE+BEx+x=(+1x,

∴AO

∴OFAOAFxx,

,

∴OFBE

正確;

本題正確的結論有:②③④⑤

故選:C

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