Question

直線y=-

4

3

x+8與X軸Y軸分別交于點(diǎn)M，N，如果點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)P為圓心，

12

5

為半徑的圓與直線y=-

4

3

x+8相切，則符合要求的點(diǎn)P個(gè)數(shù)可能為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由題中所述點(diǎn)P在坐標(biāo)軸上，所以要分①當(dāng)P₁點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方；②當(dāng)P₂點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的左側(cè)；③當(dāng)P₃點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的右側(cè)；④當(dāng)P₄點(diǎn)在y軸上，并且在點(diǎn)N上方這四種情況討論，再根據(jù)圓的性質(zhì)及相切的條件，以及相似三角形的對應(yīng)邊成比例，從而求出每種情況的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：分以下幾種情況討論：
①當(dāng)P₁點(diǎn)在y軸上，并且在N點(diǎn)的下方時(shí)，設(shè)⊙P₁與直線y=-

4

3

x+4相切于點(diǎn)A，
連接P₁A，則P₁A⊥MN，
∴∠P₁AN=∠MON=90°．
∵∠P₁NA=∠MNO，
∴△P₁AN∽△MON，
∴

P1A

MO

=

P1N

MN

在Rt△OMN中，OM=6，ON=8，
∴MN=10．
又∵P1A=

12

5

，∴P1N=4，
∴P₁點(diǎn)坐標(biāo)是（0，4）；
②當(dāng)P₂點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，同理可得P₂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0）；
③當(dāng)P₃點(diǎn)在x軸上，并且在M點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，設(shè)⊙P₃與直線y=-

4

3

x+4上切于點(diǎn)B，連接P₃B．
則P₃B⊥MN，∴△P₃BM∽△MON，∴

P3B

ON

=

MP3

MN

，
又ON=8，MN=10，P₃B=

12

5

，
∴P₃M=3，∴P₃點(diǎn)坐標(biāo)是（9，0）；
④當(dāng)P₄點(diǎn)在y軸上，并且在點(diǎn)N上方時(shí)，同理可得P₄N=4．
∴P₄點(diǎn)坐標(biāo)是（0，12）．
綜上，P點(diǎn)有（0，4），（3，0），（9，0），（0，12）共四個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的基本性質(zhì)及直線與圓相切的有關(guān)知識(shí)，同時(shí)還考查了相似三角形的性質(zhì)及分類討論的思想，有一定的難度．