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【題目】已知:在△ABC中,∠BAC=90°AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與BC重合).以AD為邊作正方形ADEF,連接CF

1)如圖1,當點D在線段BC上時,求證:①BD⊥CF②CF=BC﹣CD

2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時,其它條件不變,請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系;

3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時,且點A、F分別在直線BC的兩側,其它條件不變:請直接寫出CF、BC、CD三條線段之間的關系.若連接正方形對角線AE、DF,交點為O,連接OC,探究△AOC的形狀,并說明理由.

【答案】(1)證明見解析;(2CF=BC+CD;(3①CF=CD-BC;②△AOC是等腰三角形.理由見解析.

【解析】試題分析:(1)、、根據等腰直角的性質得出∠ABC=∠ACB=45°,從而得出四邊形ADEF是正方形,根據∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°得出∠BAD=∠CAF,從而得出△BAD△CAF全等,則∠ACF=∠ABD=45°,從而得出垂直;、根據 全等得出BD=CF,從而得出結論;(2)、根據(1)的證法的采購員BD=CF,得出CF=BC+CD;(3)、、根據(1)的證法得出BD=CF,從而得出CF=CD-BC;、∠BAC=90°,AB=AC得出∠ABD=135°,根據四邊形ADEF是正方形得出∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,從而得出△BAD△CAF全等,則∠ACF=135°,從而得出∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,得出△FCD為直角三角形,根據正方形的性質得出OC=OA,從而說明△FCD為等腰直角三角形.

試題解析:(1)、、∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°四邊形ADEF是正方形,

∴AD=AF,∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°, ∴∠BAD=∠CAF,

△BAD△CAF中, AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAFSAS),

∴∠ACF=∠ABD=45°, ∴∠ACF+∠ACB=90°, ∴BD⊥CF;

、由①△BAD≌△CAF可得BD=CF, ∵BD=BC-CD, ∴CF=BC-CD;

2)、與(1)同理可得BD=CF, 所以,CF=BC+CD

3)、、與(1)同理可得,BD=CF, 所以,CF=CD-BC;

②∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB=45°, 則∠ABD=180°-45°=135°,

四邊形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90° ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°,∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°,

∴∠BAD=∠CAF, 在△BAD△CAF中,AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF ∴△BAD≌△CAFSAS),

∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°, ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°,則△FCD為直角三角形,

正方形ADEF中,ODF中點, ∴OC=DF ∵在正方形ADEF中,OA=AEAE=DF, ∴OC=OA

∴△AOC是等腰三角形

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1)如圖1,求證:△AFB≌△ADC

2)請判斷圖1中四邊形BCEF的形狀,并說明理由;

3)若D點在BC 邊的延長線上,如圖2,其它條件不變,請問(2)中結論還成立嗎?如果成立,請說明理由.

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