Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝﹣ax2+2ax+c與x軸相交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．

（1）如圖1，求拋物線(xiàn)的解析式；

（2）如圖1，點(diǎn)F（0，b）在y軸上，連接AF，點(diǎn)Q是線(xiàn)段AF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是第一象限拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)b＝﹣時(shí)，求四邊形CQBP面積的最大值與點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，點(diǎn)C1與點(diǎn)C關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)．將拋物線(xiàn)y沿直線(xiàn)AD平移，平移后的拋物線(xiàn)記為y1，y1的頂點(diǎn)為D1，將拋物線(xiàn)y1沿x軸翻折，翻折后的拋物線(xiàn)記為y2，y2的頂點(diǎn)為D2．在（2）的條件下，點(diǎn)P平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P1，在平移過(guò)程中，是否存在以P1D2為腰的等腰△C1P1D2，若存在請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D2的橫坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)m＝時(shí)，S四邊形CQBP取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）；（3）存在，滿(mǎn)足要求的D2的橫坐標(biāo)有：，，，．

【解析】

（1）將A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式當(dāng)中求出a與c的值即可；

（2）先求出B、F坐標(biāo)，然后可以證明AF與BC平行，于是△QBC的面積就等于△ABC的面積，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求△PBC的面積的最大值，作PE∥y軸交直線(xiàn)BC于E，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為未知數(shù)m，將E點(diǎn)坐標(biāo)也用m表示，PE的長(zhǎng)度用P、E縱坐標(biāo)之差表示，于是△PBC的面積就可以表示成關(guān)于m的二次函數(shù)，通過(guò)配方法即可求出最值及P點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）由于限定了以P1D2為腰，因此分兩大類(lèi)分別列方程計(jì)算即可．

（1）將A（﹣1，0）、C（0，3）代入拋物線(xiàn)解析式得：

解得：，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）如圖1，連接BC，AC，作PE∥y軸交BC于E．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x+1）（x﹣3）．

∴B（3，0），

∵b＝﹣，

∴F（0，﹣），

∴＝，

∴AF∥BC，

∴S△QBC＝S△ABC＝ABOC＝6，

由B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線(xiàn)BC的解析式為：y＝﹣x+3，

設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則E（m，﹣m+3），

PE＝yP﹣yE＝﹣m2+4m，

∴S△PBC＝（xB﹣xC）（yP﹣yE）＝﹣m2+6m＝﹣（m﹣）2+，

∴S四邊形CQBP＝S△QBC+S△PBC＝S△ABC+S△PBC＝﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)m＝時(shí)，S四邊形CQBP取得最大值，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝，

∴D（1，4），拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，

∵C1與C關(guān)于直線(xiàn)x＝1對(duì)稱(chēng)，

∴C1（2，3），

由A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線(xiàn)AD的解析式為y＝2x+2，

設(shè)D1（m，2m+2），

則P1（m+，2m+），D2（m，﹣2m﹣2），

∴，，

，

當(dāng)P1C1＝P1D2時(shí)，＝，解得，．

當(dāng)C1D2＝P1D2時(shí)，9m2+36m+54＝，解得，．

綜上所述，滿(mǎn)足要求的D2的橫坐標(biāo)有：，，，．