Question

已知拋物線y=x²-2x+m與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0）并且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=4，
①求這條拋物線的解析式；
②設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為C，P是拋物線上一點(diǎn)，且∠PAC=90°，求P點(diǎn)坐標(biāo)及△PAC內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

分析：（1）由根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，把已知轉(zhuǎn)化成含有以上兩式的形式代入即可求出m，即可求出答案；
（2）求出A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x²-2x），根據(jù)勾股定理求出x，即得到P的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出PA、AC、PC的值，設(shè)△PAC的內(nèi)切圓的半徑是r，根據(jù)三角形的面積公式得出S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，代入求出r，即可求出答案．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，x²-2x+m=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=2，x₁•x₂=m，
∵x₁²+x₂²=4，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4，
∴4-2m=4，
∴m=0，
即拋物線的解析式是y=x²-2x，
答：這條拋物線的解析式是y=x²-2x．
（2）解：y=x²-2x=x（x-2）=（x-1）²-1，
∴A（0，0），B（2，0），C（1，-1），
設(shè)P的坐標(biāo)是（x，x²-2x），
由勾股定理得：PA²+AC²=PC²，
∴x²+（x²+2x）²+1²+1²=（x-1）²+（x²-2x+1）²，
解得：x₁=0（因?yàn)榇藭r(shí)與A重合，舍去），x₂=3，
x²-2x=3，
∴P的坐標(biāo)是（3，3），
由勾股定理求出AC=

2

，PA=3

2

，PC=2

5

，
設(shè)△PAC的內(nèi)切圓的半徑是r，
根據(jù)三角形的面積公式得：S_△PAC=

1

2

PA×AC=

1

2

PA•r+

1

2

PC•r+

1

2

AC•r，
∴

1

2

×3

2

×

2

=

1

2

×3

2

×r+

1

2

×2

5

×r+

1

2

×

2

×r，
解得：r=2

2

-

5

，
∴圓的面積是πr²=π(2

2

-

5

)2=13π-4

10

π，
答：P點(diǎn)坐標(biāo)是（3，3），△PAC內(nèi)切圓的面積是13π-4

10

π．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)解一元一次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，三角形的面積，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．