(2012•桂平市三模)如圖,矩形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=3AD,對(duì)角線AC中點(diǎn)O為圓心,BK⊥AC,垂足為K.DH∥KB,DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E、F、G、H.
(1)求證:AE=CK;
(2)設(shè)AB=y,BK=x,試求y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若DE=6,求⊙O的半徑長(zhǎng).
分析:(1)根據(jù)ABCD是矩形,求證△BKC≌△ADE即可;
(2)根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式得出
1
2
AB×BC=
1
2
AC×BK,代入即可求得BK.
(3)由(2)中的函數(shù)關(guān)系式、AC=
10
3
y求得AC=
10
3
x.然后利用(1)中的全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知BK=DE=x,所以把x的值代入即可求得圓O的直徑AC的長(zhǎng)度.
解答:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,BC=DA,
∴∠DAE=∠BCK,
∵BK⊥AC,DH∥KB,
∴∠DEA=∠BKC=90°,
∴在△DEA與△BKC中,
∠DEA=∠BKC=90°
∠DAE=∠BCK
DA=BC
,
∴△DEA≌△BKC(AAS),
∴AE=CK;

(2)∵在矩形ABCD中,AD=BC,AB=3AD=y,則AB=3BC=y.
∴在直角△ABC中,根據(jù)勾股定理得,AC=
AB2+BC2
=
10
3
y.
又∵
1
2
AB•BC=
1
2
AC•BK,BK=x,
∴y×
y
3
=
10
3
yx,
∴y=
10
x,即y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=
10
x;

(3)∵由(1)知,△DEA≌△BKC,
∴DE=BK=6.
又∵由(2)知,y=
10
x,AC=
10
3
y,
∴AC=
10
3
x.
∴當(dāng)x=6時(shí),AC=
10
3
×6=2
10
,
∴OA=
1
2
AC=
10
,即⊙O的半徑長(zhǎng)是
10
點(diǎn)評(píng):此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行線的判定與性質(zhì),綜合性很強(qiáng),需要學(xué)生系統(tǒng)的掌握知識(shí),是一道很典型的題目.
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(2012•桂平市三模)如圖,直線AC∥BD,⊙O與AC和BD分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B.點(diǎn)M和點(diǎn)N分別是AC和BD上的動(dòng)點(diǎn),MN沿AC和BD平移.⊙O的半徑為1,∠1=60°.下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。

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(2012•桂平市三模)(1)計(jì)算:2cos60°-2×(
1
2
)-1+|-3|+(
2
-1)0

(2)有這樣一道題:“計(jì)算:
x2-2x+1
x2-1
÷
x-1
x2+x
-x
的值,其中x=2012.”甲同學(xué)把“x=2012”錯(cuò)抄成“x=2017”,但他計(jì)算結(jié)果也是正確的.請(qǐng)解釋這是怎么回事.

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(2012•桂平市三模)如圖,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,
3
2
),過點(diǎn)P作x軸的平行線交y軸于點(diǎn)A,交反比例函數(shù)y=
k
x
(x>0)的圖象于點(diǎn)N;作PM⊥AN交反比例函數(shù)y=
k
x
(x>0)的圖象于點(diǎn)M,PN=4.
(1)求反比例函數(shù)和直線AM的解析式;
(2)求△APM的面積.

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(2012•桂平市三模)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且x1、x2(x1<x2)是方程(x+1)(x-3)=0的兩個(gè)根.
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D是線段BC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)D的直線EF平行y軸交x軸于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)E.求DE長(zhǎng)的最大值;
(3)試探究當(dāng)DE取最大值時(shí),在拋物線x軸下方是否存在點(diǎn)P,使以D、F、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.

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