Question

【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y ＝－x2＋（k－2）x＋k＋1.

（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）當(dāng)k ＝1時(shí)，設(shè)該函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B（A在B的左側(cè)），與y軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)P為其圖象的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使BP＋CP最小，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（，）

【解析】

（1）令y=0，證明△＞0，即可證明該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)k=1時(shí)，求出函數(shù)解析式，算出A，B，C的坐標(biāo)，則A、B關(guān)系對(duì)稱軸對(duì)稱，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，則P為對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，求出即可.

解：（1）∵△=（k－2）2－4×（－1）（k+1）=k2+8，

∵k2+8≥8，

∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）當(dāng)k=1時(shí)，y=－x2－x+2=－（x+）2+

即此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x=-2，當(dāng)y=0時(shí)，－x2－x+2=0，解得：x1=1，x2=－2，

即A（－2，0），B（1，0）；當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即C（0，2）；

∵A、B關(guān)于直線x=對(duì)稱，

∴則A、B關(guān)系對(duì)稱軸對(duì)稱，要使BP＋CP最小，及使AP＋CP最小，則P為對(duì)稱軸與直線AC的交點(diǎn)，設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的解析式為：y=kx+b，

∴代入A、C兩點(diǎn)，則，解得k=1，b=2，即y=x+2，當(dāng)x=時(shí)，y=

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）