Question

在一次科技活動中，小明進行了模擬雷達雪描實驗.如圖，表盤是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點A處有一束紅外光線AP，從AB開始，繞點A逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達AC后立即以相同的旋轉(zhuǎn)速度返回A、B，到達后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過程.小明通過實驗發(fā)現(xiàn)，光線從AB處開始旋轉(zhuǎn)計時，旋轉(zhuǎn)1秒， 時光線AP交BC于點M，BM的長為（）cm.
（1）求AB的長；
（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開始計時，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，此時AP與BC邊交點在什么位置？并說明理由.

Answer 1

（1）AB的長為40cm；
（2）光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點距點Bcm處，光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點在距點Bcm處．

試題分析：（1）過A點作AD⊥BC，垂足為D．令A(yù)B=2tcm．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)可得AD=t，BD=t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到關(guān)于t的方程，求得t的值，從而求得AB的長；
（2）當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，設(shè)AP交BC于點N，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)可得BN；設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．求得CQ=80，BC=40．根據(jù)BQ=BC-CQ即可求解．
試題解析：（1）如圖1，過A點作AD⊥BC，垂足為D．

因為∠BAC=120°，AB=AC，
所以∠ABC=∠C=30°．
令A(yù)B=2tcm．
在Rt△ABD中，AD=AB=t，BD=AB=t．
在Rt∠AMD中，因為∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，
所以MD=AD=t．
因為BM=BD-MD．即
=t -t．
解得t=20．
所以AB=2×20=40cm．
答：AB的長為40cm；
（2）如圖2，當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，
設(shè)AP交BC于點N，此時∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN==．
所以光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點N距點Bcm處．
如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點為Q．

由題意可知，光線從邊AB開始到第一次回到AB處需8×2=16秒，
而2014=125×16+14，即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時和BC的交點是同一個點Q．
易求得CQ=，BC=40．
所以BQ=BC-CQ=40-=．
所以光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點Q在距點Bcm處．