Question

【題目】已知：如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝，AH⊥BC，垂足為點H，點D在線段HC上，且HD＝2，點P為射線AH上任意一點，以點P為圓心，線段PD的長為半徑作⊙P，設AP＝x．

（1）當x＝3時，求⊙P的半徑長；

（2）如圖1，如果⊙P與線段AB相交于E、F兩點，且EF＝y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）如果△PHD與△ABH相似，求x的值（直接寫出答案即可）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）所求函數(shù)的解析式為，定義域為．（3），，，．

【解析】

（1）根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出，∠B＝60°，由 ，AH⊥BC，求出AH，即得PH=AH-AP=6-x=3，利用勾股定理即可證明；

（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．在Rt△PHD中，HD=2，PH=6-x．利用勾股定理求出PD，然后在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2=PE2．從而可求出答案；
（3）△PHD與△ABH相似，則有=，代入各線段的長短即可求出x的值．

解：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴，∠B＝60°．

又∵，AH⊥BC，

∴．

即得PH＝AH﹣AP＝6﹣x＝3．

在Rt△PHD中，HD＝2，

利用勾股定理，得．

∴當x＝3時，⊙P的半徑長為．

（2）過點P作PM⊥EF，垂足為點M，連接PE．

在Rt△PHD中，HD＝2，PH＝6﹣x．

利用勾股定理，得．

∵△ABC為等邊三角形，AH⊥BC，

∴∠BAH＝30°．即得．

在⊙P中，PE＝PD．

∵PM⊥EF，P為圓心，

∴．

于是，在Rt△PEM中，由勾股定理得PM2+EM2＝PE2．

即得．

∴所求函數(shù)的解析式為，

定義域為．

（3）∵①△PHD∽△ABH，則有，

∴，

解得：PH＝，

∴x＝AP＝6﹣，

當P在AH的延長線上時，x＝6+；

②當△PHD∽△AHB時，，

即，

解得：PH＝2 ，

∴x＝AP＝6﹣2，

當P在AH的延長線上時，x＝6+2；

，，，．