【題目】已知:如圖1,四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H,順次連接EF、FG、GH、HE,得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形).
(1)四邊形EFGH的形狀是 ,證明你的結(jié)論.
(2)如圖2,請(qǐng)連接四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD,當(dāng)AC與BD滿足 條件時(shí),四邊形EFGH是矩形;證明你的結(jié)論.
(3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形?說明理由.
【答案】(1)四邊形EFGH是平行四邊形;(2)見解析;(3)平行四邊形;互相垂直.
【解析】
試題分析:(1)連接BD,根據(jù)三角形的中位線定理得到EH∥BD,EH=BD,F(xiàn)G∥BD,F(xiàn)G=BD,推出,EH∥FG,EH=FG,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形,可知當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足AC⊥BD的條件時(shí),四邊形EFGH是矩形;
(3)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得EH∥BD,EF∥AC,再根據(jù)矩形的每一個(gè)角都是直角可得∠1=90°,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3=90°,再根據(jù)垂直定義解答.
解:(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.理由如下:
如圖1,連結(jié)BD.
∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn),
∴EH∥BD,EH=BD,
同理FG∥BD,F(xiàn)G=BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形;
(2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足互相垂直的條件時(shí),四邊形EFGH是矩形.理由如下:
如圖2,連結(jié)AC、BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn),
∴EH∥BD,HG∥AC,
∵AC⊥BD,
∴EH⊥HG,
又∵四邊形EFGH是平行四邊形,
∴平行四邊形EFGH是矩形;
(3)菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形.理由如下:
如圖3,連結(jié)AC、BD.
∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn),
∴EH∥BD,HG∥AC,F(xiàn)G∥BD,EH=BD,F(xiàn)G=BD,
∴EH∥FG,EH=FG,
∴四邊形EFGH是平行四邊形.
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∵EH∥BD,HG∥AC,
∴EH⊥HG,
∴平行四邊形EFGH是矩形.
故答案為:平行四邊形;互相垂直.
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②方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
③方程無(wú)實(shí)數(shù)根;
④無(wú)法判斷
(2)如圖,若△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O,直徑BD⊥AC于點(diǎn)E,且∠D=30°,求方程cx2+bx﹣a=0的根;
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