Question

（2013•盤錦）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)是3，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，連接PA，將線段PA繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE，在直線BA上取點(diǎn)F，使BF=BP，且點(diǎn)F與點(diǎn)E在BC同側(cè)，連接EF，CF．
（1）如圖?，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：四邊形PCFE是平行四邊形；
（2）如圖?，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，四邊形PCFE是否還是平行四邊形，說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，四邊形PCFE的面積是否有最大值？若有，請(qǐng)求出面積的最大值及此時(shí)BP長(zhǎng)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠ABP=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）由正方形的性質(zhì)可以得出AB=BC，∠FBC=∠ABC=∠90°，可以得出△PBA≌△FBC，由其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）設(shè)BP=x，則PC=3-x  平行四邊形PEFC的面積為S，由平行四邊形的面積公式就可以求出其解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出其最大值．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中，

AB=BC ∠PBA=∠ABC BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．   
∵PA=PE，
∴PE=FC．        
∵∠PAB+∠APB=90°，
∴∠FCB+∠APB=90°．                                
∵∠EPA=90°，
∴∠APB+∠EPA+∠FCP=180°，
即∠EPC+∠PCF=180°，
∴EP∥FC，
∴四邊形EPCF是平行四邊形；

（2）結(jié)論：四邊形EPCF是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°    
∵在△PBA和△FBC中，
 

AB=BC ∠PBA=∠ABC BP=BF

，
∴△PBA≌△FBC（SAS），
∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．                                     
∵PA=PE，
∴PE=FC．               
∵∠FCB+∠BFC=90°，
∠EPB+∠APB=90°，
∴∠BPE=∠FCB，
∴EP∥FC，
∴四邊形EPCF是平行四邊形；

（3）設(shè)BP=x，則PC=3-x  平行四邊形PEFC的面積為S，
 S=PC•BF=PC•PB=（3-x）x
=-（x-

3

2

）²+

9

4

．
∵a=-1＜0，
∴拋物線的開(kāi)口向下，
∴當(dāng)x=

3

2

時(shí)，S最大=

9

4

，
∴當(dāng)BP=

3

2

時(shí)，四邊形PCFE的面積最大，最大值為

9

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的面積公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用平行四邊形的判定方法是關(guān)鍵．