【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AO平分∠BAC,交BC于點O.以O為圓心,OC為半徑作⊙O,分別交AO,BC于點E,F.
(1)求證:AB是⊙O的切線;
(2)延長AO交⊙O于點D,連接CD,若AD=2AC,求tanD的值;
(3)在(2)的條件下,設⊙O的半徑為3,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)tan∠D=;(3).
【解析】
(1)根據題意過點O作OM⊥AB,由角平分線到性質可得OC=OM,即可證AB是⊙O的切線;
(2)由題意證明△ACE∽△ADC,可得,以此進行分析即可得出結論.
(3)根據題意由相似三角形的性質可得,即可求AD=8,AC=4=AM,通過證明△OBM∽△ABC,可得,可得關于OB,BM的方程組,即可求BM的長,即可求AB和BC的長.
證明:(1)如圖,過點O作OM⊥AB,
∵AO平分∠BAC,OM⊥AB,∠ACB=90°,
∴OC=OM,
∴OM為⊙O半徑,且OM⊥AB,
∴AB是⊙O切線.
(2)解:∵DE是⊙O的直徑,
∴∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠ACB,
∴∠DCO=∠ACE,
∵OC=OD,
∴∠D=∠DCO,
∴∠ACE=∠D,且∠A=∠A,
∴△ACE∽△ADC,
∴,
∵AD=2AC,
∴tan∠D=;
(3)∵△ACE∽△ADC,
∴,
∴AC2=AD(AD﹣6),且2AC=AD,
∴AD=8,
∴AC=4,
∵AO=AO,OC=OM,
∴Rt△AOM≌Rt△AOC(HL),
∴AM=AC=4,
∵∠B=∠B,∠OMB=∠ACB=90°
∴△OBM∽△ABC,
∴,
∴,
∴,
∴BM=,
∴AB=4+=,
∴BC===.
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【題目】垃圾分類問題受到全社會的廣泛關注,我區(qū)某校學生會向全校2100名學生發(fā)起了“垃圾要回家,請你幫助它”的捐款活動,用于購買垃圾分類桶.為了解捐款情況,學生會隨機調查了部分學生的捐款金額,并用得到的數據繪制了如圖統(tǒng)計圖1和圖2,請根據相關信息,解答下列問題:
(1)本次接受隨機抽樣調查的學生人數為 ,圖1中m的值是 ;
(2)求本次調查獲取的樣本數據的平均數、眾數和中位數;
(3)根據樣本數據,估計該校本次活動捐款金額為5元的學生人數.
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【題目】如圖,反比例函數和一次函數y=kx-1的圖象相交于A(m,2m),B兩點.
(1)求一次函數的表達式;
(2)求出點B的坐標,并根據圖象直接寫出滿足不等式的x的取值范圍.
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【題目】某校王老師組織九(1)班同學開展數學活動,某天帶領同學們測量學校附近一電線桿的高.已知電線桿直立于地面上,在太陽光的照射下,電線桿的影子(折線BCD)恰好落在水平地面和斜坡上,在D處測得電線桿頂端A的仰角為30°,在C處測得電線桿頂端A的仰角為45°,斜坡與地面成60°角,CD=4m,請你根據這些數據求電線桿的高AB.(結果用根號表示)
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【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象經過點A(4,0),C(0,2).
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖1,點E是第一象限的拋物線上的一個動點.當△ACE面積最大時,請求出點E的坐標;
(3)如圖2,在拋物線上是否存在一點P,使∠CAP=45°?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,直線y=﹣x+2分別與x軸,y軸交于點A,B,點C是反比例函數y=的圖象在第一象限內一動點.過點C作直線CD⊥AB.交x軸于點D,交AB于點E.則CE:DE的最小值為_____.
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【題目】如圖①,點G是等邊三角形AOB的外心,點A在第一象限,點B坐標為(4,0),連結OG.拋物線y=ax(x﹣2)+1+的頂點為P.
(1)直接寫出點A的坐標與拋物線的對稱軸;
(2)連結OP,求當∠AOG=2∠AOP時a的值.
(3)如圖②,若拋物線開口向上,點C,D分別為拋物線和線段AB上的動點,以CD為底邊構造頂角為120°的等腰三角形CDE(點C,D,E成逆時針順序),連結GE.
①點Q在x軸上,當四邊形GDQO為平行四邊形時,求GQ的值;
②當GE的最小值為1時,求拋物線的解析式.
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【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習俗.我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A,B,C,D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進行了抽樣調查,并將調查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計圖(尚不完整).
請根據以上信息回答:
(1)將兩幅不完整的圖補充完整;
(2)本次參加抽樣調查的居民有多少人?
(3)若居民區(qū)有8000人,請估計愛吃D粽的人數.
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【題目】已知:在平面直角坐標系xOy中,二次函數y=mx 2 +2mx-4(m≠0)的圖象與x軸交于點A、B(點A在點B的左側),與y軸交于點C,△ABC的面積為12.
(1)求這個二次函數的解析式;
(2)點D的坐標為(-2,1),點P在二次函數的圖象上,∠ADP為銳角,且tan∠ADP=2,求出點P的橫坐標;
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