Question

.我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.例如圖1，圖2，圖3中，AF,BE是△ABC的中線, AF⊥BE , 垂足為P.像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”.設,,.

   特例探索

（1）如圖1，當∠=45°，時，=             ，              ；

     如圖2，當∠=30°，時，   =             ，              ；

  歸納證明

   （2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式；

    拓展應用

   （3）如圖4，在□ABCD中，點E,F,G分別是AD,BC,CD的中點，BE⊥EG, AD= ,AB=3.

求AF的長. 

       

  

Answer 1

 解析：（1）如圖1，連接EF,則EF是△ABC的中位線，

          ∴EF==,

          ∵∠ABE=45°,AE⊥EF ∴△ABP是等腰直角三角形，

          ∵EF∥AB ，∴△EFP也是等腰直角三角形，

          ∴AP=BP=2 ，EP=FP=1, ∴AE=BF=,

          ∴.

          如圖2，連接EF,則EF是△ABC的中位線.

          ∵∠ABE=30°,AE⊥BF,AB=4,

          ∴AP=2, BP=,

          ∵EF, ∴PE=,PF=1,

          ∴AE=, BF=

          ∴ , .

       (2)    

           如圖3，連接EF， 設AP=m ,BP=n.,則

           ∵EF,  ∴PE=BP=n , PF=AP=m,

           ∴ ,  ,

           ∴,

            

           ∴

       （3）

如上圖，延長EG,BC交于點Q, 延長QD,BA交于點P,延長QE,BE分別交PB，PQ于點M,N,連接EF.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC, ABCD,

∵E,G是分別是AD,CD的中點，∴△EDG≌△QCG≌△EAM, ∴CQ=DE=, DG=AM=1.5，∴BM=4.5.

∵，∴，∴BP=9,  ∴M是BP的中點；

∵ADFQ, ∴四邊形ADQF是平行四邊形，∴AF∥PQ,

∵E,F分別是AD，BC的中點，∴AEBF, ∴四邊形ABFE是平行四邊形，∴OA=OF,

由AF∥PQ得：

  , ∴, ∴PN=QN, ∴N是PQ的中點；

∴△BQP是“中垂三角形”， ∴,

∴,  ∴