【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O分別交線段BC,AC于點D,E,過點DDF⊥AC,垂足為F,線段FD,AB的延長線相交于點G

1)求證:DF⊙O的切線;

2)若CF=1,DF=,求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)詳見解析;(2

【解析】(1)連接AD、OD,由AB為直徑可得出點D為BC的中點,由此得出OD為△BAC的中位線,再根據(jù)中位線的性質(zhì)即可得出OD⊥DF,從而證出DF是⊙O的切線;

(2)CF=1,DF=,通過解直角三角形得出CD=2、∠C=60°,從而得出△ABC為等邊三角形,再利用分割圖形求面積法即可得出陰影部分的面積.

(1)證明:連接AD、OD,如圖所示.

∵AB為直徑,

∴∠ADB=90°,

∴AD⊥BC,

∵AC=AB,

∴點D為線段BC的中點.

∵點O為AB的中點,

∴OD為△BAC的中位線,

∴OD∥AC,

∵DF⊥AC,

∴OD⊥DF,

∴DF是⊙O的切線.

(2)解:在Rt△CFD中,CF=1,DF=,

∴tan∠C==,CD=2,

∴∠C=60°,

∵AC=AB,

∴△ABC為等邊三角形,

∴AB=4.

∵OD∥AC,

∴∠DOG=∠BAC=60°,

∴DG=ODtan∠DOG=2,

∴S陰影=S△ODG﹣S扇形OBD=DGOD﹣πOB2=2π.

 “點睛”本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定、扇形面積的計算以及三角形面積的計算,解題的關(guān)鍵是:(1)證出OD⊥DF;(2)利用分割圖形求面積求出陰影部分的面積.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,利用分割圖形求面積法是解題的難點,在日常練習(xí)中應(yīng)加強訓(xùn)練.

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