Question

16、如圖，已知O是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB=110°，將△BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得△ADC，連接OD．
（1）當(dāng)∠BOC=150°時(shí)，△ADO是

直角

三角形．
（2）當(dāng)∠BOC=

110°或125°或140°

度時(shí)，△ADO是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證△BOC≌△ADC，由∠CDO=60°，得△COD是等邊三角形，∠ADO=150°-∠CDO=90°，可判斷△ADO為直角三角形；
（2）因?yàn)椤鰽OD是等腰三角形，可得①∠AOD=∠ADO、②∠ODA=∠OAD、③∠AOD=∠DAO；若∠AOB=110°，∠COD=60°，∠BOC=190°-∠AOD，∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO由①∠AOD=∠ADO可得α=125°，由②∠ODA=∠OAD可得α=110°，由③∠AOD=∠DAO可得α=140°．

解答：解：（1）△AOD為直角三角形．理由如下：
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，易證△BOC≌△ADC，
∴∠ADC=150°，△COD是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°，
∴△ADO是直角三角形．

（2）設(shè)∠BOC=α，
因?yàn)椤鰽OD是等腰三角形，
所以分三種情況：①∠AOD=∠ADO，②∠ODA=∠OAD，③∠AOD=∠DAO；
∵∠AOB=110°，∠COD=60°，
∴∠BOC=190°-∠AOD，即∠AOD=190°-α；
而∠BOC=∠ADC=∠ADO+∠CDO=∠ADO+60°，即∠ADO=α-60°；
∴∠OAD=50°，
①當(dāng)∠AOD=∠ADO，即190°-α=α-60°，
∴α=125°；
②當(dāng)∠ODA=∠OAD，即α-60°=50°，
∴α=110°；
③當(dāng)∠AOD=∠DAO，即190°-α=50°，
∴α=140°；
綜上可知，α=125°或110°或140°．
故答案為：（1）直角；（2）110°或125°或140°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)前后，對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等解題．