(2012•閔行區(qū)三模)已知:如圖,AB為⊙O的弦,OD⊥AB,垂足為點(diǎn)D,DO的延長線交⊙O于點(diǎn)C.過點(diǎn)C作CE⊥AO,分別與AB、AO的延長線相交于E、F兩點(diǎn).CD=8,sin∠A=
35

求:(1)弦AB的長;
(2)△CDE的面積.
分析:(1)首先設(shè)⊙O的半徑OA=r,那么OD=8-r.由OD⊥AB,得∠ADO=90°.于是由在Rt△AOD中,sin∠A=
OD
OA
=
3
5
,可得
8-r
r
=
3
5
.繼而求得r的長,然后由垂徑定理,求得弦AB的長;
(2)易證得△AOD∽△CED,然后由相似三角形面積的比等于相似比的平方,求得△CDE的面積.
解答:解:(1)設(shè)⊙O的半徑OA=r,
則OD=CD-OC=8-r.
∵OD⊥AB,
∴∠ADO=90°.
∵在Rt△AOD中,sin∠A=
OD
OA
=
3
5

8-r
r
=
3
5

解得:r=5,
∴OA=5,OD=3.
利用勾股定理,得:AD=
OA2-OD2
=4,
∵OD⊥AB,O為圓心,
∴AB=2AD=8;

(2)∵CE⊥AO,
∴∠AFE=∠CDE=90°.
∴∠A+∠E=90°,∠C+∠E=90°,
∴∠A=∠C,
又∵∠ADO=∠CDE=90°,
∴△AOD∽△CED.
S△AOD
S△CDE
=
AD2
CD2
=
1
4
,
∵S△ACD=
1
2
AD•OD=
1
2
×4×3=6,
∴S△CDE=4S△ACD=24.
點(diǎn)評(píng):此題考查了垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).此題難度適中,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用.
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③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”,那么△ABC是等邊三角形.
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