Question

【題目】如圖，E是四邊形ABCD的邊AB上一點(diǎn)．

（1）猜想論證：如圖，分別連接DE、CE，若∠A=∠B=∠DEC=65°，試猜想圖中哪兩個(gè)三角形相似，并說明理由．

（2）觀察作圖：如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖中矩形ABCD的邊AB上畫出所有滿足條件的點(diǎn)E（點(diǎn)E與點(diǎn)A，B 不重合），分別連結(jié)ED，EC，使四邊形ABCD被分成的三個(gè)三角形相似（不證明）．

（3）拓展探究：如圖，將矩形ABCD沿CM折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）△ADE∽△BEC；（2）見解析；（3）=．

【解析】

試題分析：（1）△ADE∽△BEC，理由為：利用三角形內(nèi)角和定理及鄰補(bǔ)角定義得到一對(duì)角相等，再由已知角相等，利用兩角相等的三角形相似即可得證；

（2）如圖②a與圖②b所示，點(diǎn)E為所求的點(diǎn)；

（3）由點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)角相等得到三個(gè)角相等，再由折疊的性質(zhì)得到∠DCM=∠MCE=∠BCE=30°，EC=CD=AB，在Rt△BCE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出所求式子比值即可．

解：（1）△ADE∽△BEC，理由為：

∵∠A=65°，

∴∠ADE+∠DEA=115°，

∵∠DEC=65°，

∴∠BEC+∠DEA=115°，

∴∠ADE=∠BEC，

∵∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC；

（2）作圖如下：

（3）∵點(diǎn)E恰好將四邊形ABCM分成的三個(gè)三角形相似，

∴△AEM∽△BCE∽△ECM，

∴∠BCE=∠ECM=∠AEM，

由折疊可知：△ECM≌△DCM，

∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，

∴∠BCE=∠ECM=∠DCM=30°，

∴DC=CE=AB，

在Rt△BCE中，cos∠BCE==cos30°，

∴=．