Question

（2013•綏化）為了迎接“十•一”小長假的購物高峰．某運(yùn)動品牌專賣店準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種運(yùn)動鞋．其中甲、乙兩種運(yùn)動鞋的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：

運(yùn)動鞋 價(jià)格	甲	乙
進(jìn)價(jià)（元/雙）	m	m-20
售價(jià)（元/雙）	240	160

已知：用3000元購進(jìn)甲種運(yùn)動鞋的數(shù)量與用2400元購進(jìn)乙種運(yùn)動鞋的數(shù)量相同．
（1）求m的值；
（2）要使購進(jìn)的甲、乙兩種運(yùn)動鞋共200雙的總利潤（利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）不少于21700元，且不超過22300元，問該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）在（2）的條件下，專賣店準(zhǔn)備對甲種運(yùn)動鞋進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動，決定對甲種運(yùn)動鞋每雙優(yōu)惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運(yùn)動鞋價(jià)格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應(yīng)如何進(jìn)貨？

Answer 1

分析：（1）用總價(jià)除以單價(jià)表示出購進(jìn)鞋的數(shù)量，根據(jù)兩種鞋的數(shù)量相等列出方程求解即可；
（2）設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動鞋x雙，表示出乙種運(yùn)動鞋（200-x）雙，然后根據(jù)總利潤列出一元一次不等式，求出不等式組的解集后，再根據(jù)鞋的雙數(shù)是正整數(shù)解答；
（3）設(shè)總利潤為W，根據(jù)總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據(jù)一次函數(shù)的增減性分情況討論求解即可．

解答：解：（1）依題意得，

3000

m

=

2400

m-20

，
整理得，3000（m-20）=2400m，
解得m=100，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；

（2）設(shè)購進(jìn)甲種運(yùn)動鞋x雙，則乙種運(yùn)動鞋（200-x）雙，
根據(jù)題意得，

(240-100)x+(160-80)(200-x)≥21700① (240-100)x+(160-80)(200-x)≤22300②

，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式組的解集是95≤x≤105，
∵x是正整數(shù)，105-95+1=11，
∴共有11種方案；

（3）設(shè)總利潤為W，則W=（140-a）x+80（200-x）=（60-a）x+16000（95≤x≤105），
①當(dāng)50＜a＜60時，60-a＞0，W隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x=105時，W有最大值，
即此時應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動鞋105雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動鞋95雙；
②當(dāng)a=60時，60-a=0，W=16000，（2）中所有方案獲利都一樣；
③當(dāng)60＜a＜70時，60-a＜0，W隨x的增大而減小，
所以，當(dāng)x=95時，W有最大值，
即此時應(yīng)購進(jìn)甲種運(yùn)動鞋95雙，購進(jìn)乙種運(yùn)動鞋105雙．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系和不等關(guān)系，（3）要根據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的情況分情況討論．