Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是直線AB上的一動(dòng)點(diǎn)（不和A，B重合），BE⊥CD于E，交直線AC于F．

（1）點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，試探究線段BD，AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（2）點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，試探究線段BD，AB和AF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）AB＝FA+BD，證明詳見解析；（2）點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，AB＝AF﹣BD，理由詳見解析；點(diǎn)D在AB的反向延長線上時(shí)，AB= BD-AF，理由見解析.

【解析】

（1）由余角的性質(zhì)可證∠FBA=∠FCE，根據(jù)“ASA”證明△FAB≌△DAC，可得FA=DA，從而可得到AB=AD+BD=FA+BD；

（2）分兩種情況求解：①點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，②點(diǎn)D在AB的反向延長線上時(shí)，畫出圖形并借鑒（1）中的證明思路就可解決問題.

解：（1）AB＝FA+BD．

證明：如圖1，

∵BE⊥CD即∠BEC＝90°，∠BAC＝90°，

∴∠F+∠FBA＝90°，∠F+∠FCE＝90°．

∴∠FBA＝∠FCE．

∵∠FAB＝180°﹣∠DAC＝90°，

∴∠FAB＝∠DAC．

在△FAB和△DAC中，

．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA＝DA．

∴AB＝AD+BD＝FA+BD．

（2）點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，AB＝AF﹣BD，

理由如下：

①當(dāng)點(diǎn)D在AB的延長線上時(shí)，如圖2．

與（1）同樣的方法可證：FA＝DA，

則AB＝AD﹣BD＝AF﹣BD．

②點(diǎn)D在AB的反向延長線上時(shí)，如圖3，

同理可證：FA=DA，

則AB=BD-AD=BD-AF．