Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=90°，AB＜AC，M是BC邊的中點，MN⊥BC交AC于點N，動點P在線段BA上以每秒cm的速度由點B向點A運動．同時，動點Q在線段AC上由點N向點C運動，且始終保持MQ⊥MP．一個點到終點時兩個點同時停止運動，設運動的時間為t秒（t＞0）．

（1）求證：△PBM∽△QNM．

（2）若∠ABC=60°，AB=4cm，

①求動點Q的運動速度；

②設△APQ的面積為S（cm2），求S與t的等量關系式（不必寫出t的取值范圍）．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①Q點的運動速度為1cm/s，②S=﹣t2+8．

【解析】

(1)由條件可以得出,,就可以得出;
(2)①根據(jù)直角三角形的性質和中垂線的性質BM、MN的值,再由就可以求出Q的運動速度;
②先由條件表示出AN、AP和AQ,再由三角形的面積公式就可以求出其解析式;

（1）∵MQ⊥MP，MN⊥BC，

∴∠PMN+∠PMB=90°，∠QMN+∠PMN=90°，

∴∠PMB=∠QMN．

∵∠B+∠C=90°，∠C+∠MNQ=90°，

∴∠B=∠MNQ，

∴△PBM∽△QNM．

（2）∵∠BAC=90°，∠ABC=60°，

∴BC=2AB=8cm．AC=12cm，

∵MN垂直平分BC，

∴BM=CM=4cm．

∵∠C=30°，

∴MN=CM=4cm．

①設Q點的運動速度為v（cm/s）．

∵△PBM∽△QNM．

∴=，

∴=，

∴v=1，

答：Q點的運動速度為1cm/s．

②∵AN=AC﹣NC=12﹣8=4cm，

∴AP=4﹣t，AQ=4+t，

∴S=APAQ=（4﹣t）（4+t）=﹣t2+8．