Question

【題目】如圖，過A(8，0)、B(0，8)兩點(diǎn)的直線y1與直線y2＝x+2交于點(diǎn)C.直線y2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E.

(1)動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB運(yùn)動，運(yùn)動的速度是每秒1個(gè)單位長度：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)M運(yùn)動時(shí)間為t秒，△ADM的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式.

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P，使△ACP為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)S＝t(0＜t≤8)；(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，﹣6)或(0，6)或(0，5﹣)或(0，5+)或(0，).

【解析】

(1)先求出點(diǎn)D坐標(biāo)，進(jìn)而得出AD＝10，再判斷出△AMH∽△ABO，進(jìn)而用t表示出MH，最后用三角形面積公式即可得出結(jié)論；

(2)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，進(jìn)而聯(lián)立直線CD解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，分三種情況，用兩邊相等建立方程求解即可得出結(jié)論.

(1)如圖，針對于直線y2＝x+2，

令y＝0，則x+2＝0，

∴x＝﹣3，

∴D(﹣2，0)，

∵A(8，0)，

∴AD＝8﹣(﹣2)＝10，

∵A(8，0)、B(0，8)，

∴AB＝＝16，

由運(yùn)動知AM＝t，過點(diǎn)M作MH⊥x軸于H，

∴MH∥OB，

∴△AMH∽△ABO，

∴ ，

∴ ，

∴MH＝t，

∴S＝S△ADM＝ADDH＝×10×t＝t(0＜t≤8)；

(2)設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

將A(8，0)、B(0，8)代入y＝kx+b中，得，

∴ ，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x+8，

∵直線y2＝x+2交于點(diǎn)C，

聯(lián)立得， ，

解得， ，

∴C(3，5)，

設(shè)P(0，m)，

∵A(8，0)，

∴AC2＝(8﹣3)2+(0﹣5)2＝100，AP2＝64+m2，CP2＝9+(m﹣5)2，

∵△ACP為等腰三角形，

∴①當(dāng)AC＝AP時(shí)，

∴AC2＝AP2，

∴100＝64+m2，

∴m＝±6，

∴P(0，﹣6)或(0，6)，

②當(dāng)AC＝CP時(shí)，

∴AC2＝CP2，

∴100＝9+(m﹣5)2，

∴m＝5±，

∴P(0，5﹣)或(0，5+)

③當(dāng)AP＝CP時(shí)，AP2＝CP2，

∴64+m2＝9+(m﹣5)2，

∴m＝，

∴P(0，)，

即：點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，﹣6)或(0，6)或(0，5﹣)或(0，5+)或(0，).