【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,點(diǎn)O在BD上,以O為圓心的圓恰好經(jīng)過A、B、C三點(diǎn),⊙O交BD于E,交AD于F,且,連接OA、OF.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)若∠AOF=3∠FOE,求∠ABC的度數(shù).
【答案】(1)見解析(2)80°
【解析】
(1)先根據(jù)圓的性質(zhì)得:∠CBD=∠ABD,由平行線的性質(zhì)得:∠ABD=∠CDB,根據(jù)直徑和等式的性質(zhì)得:,由一組對(duì)邊平行且相等可得四邊形ABCD是平行四邊形,由AB=BC可得結(jié)論;
(2)先設(shè)∠FOE=x,則∠AOF=3x,可求出∠ABC=4x,根據(jù)∠ABC+∠BAD=180°,列方程得:4x+2x+(180-3x)=180,求出x的值,則可得∠ABC的度數(shù).
(1)證明:∵,
∴∠CBD=∠ABD,
∵CD∥AB,
∴∠ABD=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CB=CD,
∵BE是⊙O的直徑,
∴,
∴,
∴AB=BC=CD,
∵CD∥AB,
∴四邊形ABCD是菱形;
(2)∵∠AOF=3∠FOE,
設(shè)∠FOE=x,則∠AOF=3x,
∠AOD=∠FOE+∠AOF=4x,
∵OA=OF,
∴∠OAF=∠OFA=(180-3x)°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=2x,
∴∠ABC=4x,
∵BC∥AD,
∴∠ABC+∠BAD=180°,
∴4x+2x+(180-3x)=180,
x=20°,
∴∠ABC=80°.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠AOB=8°,點(diǎn)P在OB上.以點(diǎn)P為圓心,OP為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)P1(點(diǎn)P1與點(diǎn)O不重合),連接PP1;再以點(diǎn)P1為圓心,OP為半徑畫弧,交OB于點(diǎn)P2(點(diǎn)P2與點(diǎn)P不重合),連接P1P2;再以點(diǎn)P2為圓心,OP為半徑畫弧,交OA于點(diǎn)P3(點(diǎn)P3與點(diǎn)P1不重合),連接P2P3;…按照這樣的方法一直畫下去,得到點(diǎn)Pn,若之后就不能再畫出符合要求的點(diǎn)Pn+1,則n等于( )
A.13B.12C.11D.10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】新冠肺炎疫情期間,部分小區(qū)出現(xiàn)防疫物資緊缺,某愛心組織緊急籌集了部分資金,計(jì)劃購(gòu)買甲、乙兩種防疫物品共2000件送往各小區(qū),已知每件甲種物品的價(jià)格比每件乙種物品的價(jià)格貴10元,用350元購(gòu)買甲種物品的件數(shù)恰好與用300元購(gòu)買乙種物品的件數(shù)相同
(1)求甲、乙兩種防疫物品每件的價(jià)格各是多少元?
(2)經(jīng)調(diào)查,各小區(qū)對(duì)乙種物品件數(shù)的需求量是甲種物品件數(shù)的3倍,若該愛心組織按照此需求的比例購(gòu)買這2000件物品,需籌集資金多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為2的圓上, 頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi),將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁作無滑動(dòng)的滾動(dòng).當(dāng)滾動(dòng)一周回到原位置時(shí),點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為__ _.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四邊形ABCD中,AB//DC,∠A=60°,AD=DC=BC=4,點(diǎn)E沿A→D→C→B運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)F沿A→B→C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位,當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí),運(yùn)動(dòng)停止.則△AEF的面積y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x秒之間的圖象大致為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形EFGH的頂點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上.若設(shè)AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x的函數(shù)關(guān)系為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角△ABC中,∠BAC=90°,D在BC上,連接AD,作BF⊥AD分別交AD于E,AC于F.
(1)如圖1,若BD=BA,求證:△ABE≌△DBE;
(2)如圖2,若BD=4DC,取AB的中點(diǎn)G,連接CG交AD于M,求證:①GM=2MC;②AG2=AFAC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=BC,以AB為直徑的半圓分別交AC、BC于點(diǎn)D、E兩點(diǎn),BF與⊙O相切于點(diǎn)B,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:D是AC的中點(diǎn);
(2)若AB=12,sin∠CAE=,求CF的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題情境:
在綜合與實(shí)踐課上,老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng).如圖1,將矩形紙片沿對(duì)角線剪開,得到和.并且量得,.
操作發(fā)現(xiàn):
(1)將圖1中的以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使,得到如圖2所示的,過點(diǎn)作的平行線,與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn),則四邊形的形狀是________.
(2)創(chuàng)新小組將圖1中的以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),使、、三點(diǎn)在同一條直線上,得到如圖3所示的,連接,取的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng)至點(diǎn),使,連接、,得到四邊形,發(fā)現(xiàn)它是正方形,請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.
實(shí)踐探究:
(3)縝密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上,進(jìn)行如下操作:將沿著方向平移,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,此時(shí)點(diǎn)平移至點(diǎn),與相交于點(diǎn),如圖4所示,連接,試求的值.
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