Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)C（4，0）是正方形AOCB的一個(gè)頂點(diǎn)，直線PC交AB于點(diǎn)E，若E是AB的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）求直線PC的解析式；

（3）若點(diǎn)P是直線PC在第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圖中存在與△AOP全等的三角形？請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）；（2）直線PC的解析式為y=﹣2x+8；（3）點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4）或（， ）.

【解析】試題分析：（1）因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，計(jì)算出A和B的坐標(biāo)即可算出E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)E和C的坐標(biāo)即可求出直線PC的解析式；
（3）根據(jù)全等三角形的判定方法，找出全部的點(diǎn)P即可．

試題解析：（1）∵四邊形AOCB是正方形，C（4，0），∴點(diǎn)B（4，4），C（4，0），

∵E是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）.

（2）設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)E（2，4）、C（4，0）代入y=kx+b中，

得： ，解得： ，

∴直線PC的解析式為y=﹣2x+8.

（3）有兩種情況，如圖所示.

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，

在△OAE和△CBE中， ，∴△OAE≌△CBE（SAS），

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，4）；

②當(dāng)AP等于CP時(shí)，

在△AOP和△COP中， ，∴△AOP≌△COP（SSS），∴∠AOP=∠COP=45°，

∴直線OP的解析式為y=x.

聯(lián)立直線OP、PC的解析式得： ，解得： ，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（， ）.