Question

【題目】如圖1，在中，為銳角，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，以為一邊且在的右側(cè)作正方形．

（1）如果，，

①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（與點(diǎn)不重合），如圖2，線段所在直線的位置關(guān)系為 ，線段的數(shù)量關(guān)系為 ；

②當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；

（2）如果，是銳角，點(diǎn)在線段上，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，（點(diǎn)不重合），并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）①垂直，相等；②見(jiàn)解析;（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②由正方形ADEF的性質(zhì)可推出△DAB≌△FAC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB或CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，于是得到∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，證得AC=AG，根據(jù)（1）的結(jié)論于是得到結(jié)果．

（1）①正方形ADEF中，AD=AF．

∵∠BAC=∠DAF=90°，

∴∠BAD=∠CAF．

在△DAB與△FAC中，

，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，∠B=∠ACF，

∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．

故答案為垂直、相等；

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90°

∴∠BAD=∠CAF

在△BAD與△CAF中，

∵，

∴△BAD≌△CAF，

∴CF=BD，∠ACF=∠ACB=45°，

∴∠BCF=90°，∴CF⊥BD；

（2）當(dāng)∠ACB=45°時(shí)，CF⊥BD（如圖）．

理由：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥AC交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠GAC=90°．

∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，

∴∠AGC=90°﹣45°=45°，

∴∠ACB=∠AGC=45°，

∴AC=AG．

在△GAD與△CAF中，，

∴△GAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AGC=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．