Question

在我們學習過的數學教科書中，有一個數學活動，其具體操作過程是：
第一步：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開（如圖1）；
第二步：再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN（如圖2）．

請解答以下問題：
（1）如圖2，若延長MN交BC于P，△BMP是什么三角形？請證明你的結論；
（2）在圖2中，若AB=a，BC=b，a、b滿足什么關系，才能在矩形紙片ABCD上剪出符合（1）中結論的三角形紙片BMP？

Answer 1

分析：（1）易得△ABN為等邊三角形，可得∠NBP=30°，那么∠ABM=∠NBM=30°，就可推出∠MBP=∠BMP=60°，那么△BMP是等邊三角形．
（2）由翻折易知BC≥BP，而BP=BM，利用30°的三角函數即可求得．

解答：解：（1）△BMP是等邊三角形．
證明：連接AN，

∵EF垂直平分AB，
∴AN=BN．
由折疊知AB=BN，
∴AN=AB=BN．
∴△ABN為等邊三角形．
∴∠ABN=60°．
∴∠PBN=30°．
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°，
∴∠BPN=60°，∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°．
∴∠BMP=60°．
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°．
∴△BMP為等邊三角形．

（2）要在矩形紙片ABCD上剪出等邊△BMP，則BC≥BP，
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°，
∴BP=

a

cos30°

．
∴b≥

a

cos30°

．
∴a≤

3

2

b．
∴當a≤

3

2

b時，在矩形上能剪出這樣的等邊△BMP．

點評：翻折前后對應角相等；對應邊相等；注意特殊角及三角函數的應用．