Question

在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點(diǎn)．
（1）如圖1，若E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CGE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AE的長(zhǎng)．
（2）如圖2，若E、F為邊AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4，當(dāng)四邊形CGEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求AF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接CM交AB于E，那么E滿足使△CGE的周長(zhǎng)最�。�接著利用△MAE∽△MCD即可求出AE的長(zhǎng)度；
（2）如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，在CD上截取CH=4，然后連接HM交AB于E，接著在EB上截取EF=4，那么E、F兩點(diǎn)即可滿足題目要求，最后利用相似三角形的性質(zhì)即可求出AF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）∵E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，連接CM交AB于E，那么E滿足使△CGE的周長(zhǎng)最�。�
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴AG=AM=4，MD=12，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DCM，
∴AE：CD=MA：MD，
∴AE=

CD×MA

MD

=2；

（2）∵E為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴如圖，作G關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M，在CD上截取CH=4，然后連接HM交AB于E，接著在EB上截取EF=4，
那么E、F兩點(diǎn)即可滿足使四邊形CGEF的周長(zhǎng)最�。�
∵在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，G為邊AD的中點(diǎn)，
∴AG=AM=4，MD=12，而CH=4，
∴DH=2，
而AE∥CD，
∴△AEM∽△DHM，
∴AE：HD=MA：MD，
∴AE=

HD×MA

MD

=

2

3

，
∴AF=4+

2

3

=

14

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題分別考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路程問(wèn)題、勾股定理、矩形及相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)，有點(diǎn)難度，要求學(xué)生平時(shí)加強(qiáng)訓(xùn)練．