Question

如圖，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB邊的中線，若將△ABC沿CD對(duì)折起來(lái)，折疊后兩個(gè)小△ACD與△BCD重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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4

，有如下結(jié)論：①BC的邊長(zhǎng)等于a；②折疊前的△ABC的面積可以等于

3

3

a2；③折疊后，以A、B為端點(diǎn)的線段與中線CD平行且相等，其中正確的結(jié)論是______．

Answer 1

如圖，設(shè)B′D與AC相交于O，
∵CD是AB邊的中線，
∴S_△ACD=S_△BCD=

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2

S_△ABC，
∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的

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4

，
∴點(diǎn)O是AC、B′D的中點(diǎn)，
∴四邊形ADCB′是平行四邊形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故③正確；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四邊形BCB′D是平行四邊形，
由翻折變換的性質(zhì)得，BC=B′C，
∴平行四邊形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=

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2

AB=

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2

×2a=a，故①正確；
假設(shè)折疊前的△ABC的面積可以等于

3

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a²，
設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，
則

1

2

×2ah=

3

3

a²，
解得h=

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a，

3

3

a÷tan30°=

3

3

a÷

3

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=a，
∴垂足為AB的中點(diǎn)D，
∴翻折后點(diǎn)A、B重合，不符合題意，
∴假設(shè)不成立，故②錯(cuò)誤．
綜上所述，正確的結(jié)論有①③．
故答案為：①③．