【題目】在中,于點
(1)如圖1,若的角平分線交于點,,,求的度數(shù);
(2)如圖2,點分別在線段上,將折疊,點落在點處,點落在點處,折痕分別為和,且點,點均在直線上,若,試猜想與之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明;
(3)在(2)小題的條件下,將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度(),記旋轉(zhuǎn)中的為(如圖3),在旋轉(zhuǎn)過程中,直線與直線交于點,直線與直線交于點,若,是否存在這樣的兩點,使為直角三角形?若存在,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)∠C=56°;(2)∠AMF=∠ANG.證明見解析;(3)滿足條件的旋轉(zhuǎn)角為28°或56°或208°或236°.
【解析】
(1)利用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題;
(2)結(jié)論:∠AMF=∠ANG.由翻折可知:∠B=∠F,∠C=∠DGN,由∠B+∠C=90°,推出∠BAC=90°,∠F+∠DGN=90°,推出∠BAD+∠CAD=90°,由∠BAD=∠F+∠AMF,∠CAD=∠DGN-∠ANG,推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°,可得∠AMF=∠ANG;
(3)分兩種情形①當(dāng)∠PQB=90°時;②當(dāng)∠BPQ=90°時.分別求解即可解決問題.
解:(1)如圖1中,
∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△AED中,∵∠EAD=7°,
∴∠AED=83°,
∵∠AED=∠B+∠BAE,∠B=42°,
∴∠BAE=∠CAE=41°,
∴∠BAC=82°,
∴∠C=180°-42°-82°=56°.
(2)結(jié)論:∠AMF=∠ANG.
理由:如圖2中,
由翻折可知:∠B=∠F,∠C=∠DGN,
∵∠B+∠C=90°,
∴∠BAC=90°,∠F+∠DGN=90°,
∴∠BAD+∠CAD=90°,
∵∠BAD=∠F+∠AMF,∠CAD=∠DGN-∠ANG,
∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°,
∴∠AMF=∠ANG.
(3)①如圖3-1當(dāng)∠PQB=90°時,
∵∠B=∠F′=28°,
∴∠F′DQ=90°-28°=62°,
∵∠FDB=90°,
∴∠FDF′=90°-62°=28°,
∴旋轉(zhuǎn)角為28°.
②如圖3-2,當(dāng)∠BPQ=90°時,
∵∠B=∠F′=28°,
∴∠PQB=90°-28°=62°,
∵∠PQB=∠F′+∠F′DB,
∴∠F′DB=62°-28°=34°,
∴∠FDF′=90°-34°=56°,
∴旋轉(zhuǎn)角為56°,
同法可得當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為208°或236°時,也滿足條件,
綜上所述,滿足條件的旋轉(zhuǎn)角為28°或56°或208°或236°.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,BD為⊙O的直徑,AB=AC,AD交BC于點E,AE=2,ED=4,
(1)求證:△ABE∽△ADB;
(2)求AB的長;
(3)延長DB到F,使得BF=BO,連接FA,試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某機器零件的橫截面如圖所示,按要求線段AB和DC的延長線相交成直角才算合格,一工人測得∠A=23°,∠D=31°,∠AED=143°,請你幫他判斷該零件是否合格:___.(填“合格”或“不合格”)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知與成正比例,且時,.
(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在所給的直角坐標系(如圖)中畫出函數(shù)的圖象;
(3)直接寫出當(dāng)時,自變量的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球,為了估計袋中紅球的數(shù)量,某學(xué)習(xí)小組做了摸球?qū)嶒?/span>,他們將30個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中,攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色,再把它放回袋中,不斷重復(fù)下表是幾次活動匯總后統(tǒng)計的數(shù)據(jù):
請估計:當(dāng)次數(shù)s很大時,摸到白球的頻率將會接近______ ;假如你去摸一次,你摸到紅球的概率是______ 精確到.
試估算口袋中紅球有多少只?
解決了上面的問題后請你從統(tǒng)計與概率方面談一條啟示.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方形ABCD中,邊AB、BC的長(AB<BC)是方程x2﹣7x+12=0的兩個根.點P從點A出發(fā),以每秒1個單位的速度沿△ABC邊 A→B→C→A的方向運動,運動時間為t(秒).
(1)求AB與BC的長;
(2)當(dāng)點P運動到邊BC上時,試求出使AP長為時運動時間t的值;
(3)當(dāng)點P運動到邊AC上時,是否存在點P,使△CDP是等腰三角形?若存在,請求出運動時間t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校組織1000名學(xué)生參加“展示我美麗祖國”慶國慶的自拍照片的評比活動.隨機機取一些學(xué)生在評比中的成績制成的統(tǒng)計圖表如下:
根據(jù)以上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)寫出表中a、b的數(shù)值:a ,b ;
(2)補全頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖;
(3)如果評比成績在95分以上(含95 分)的可以獲得一等獎,試估計該校參加此次活動獲得一等 獎的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】牛奶是最古老的天然飲料之一,被譽為“白色血液”,對人體的重要性可想而知,現(xiàn)已成為國家營養(yǎng)餐計劃備選食品之一.為推行國家營養(yǎng)餐計劃,某乳品公司向某營養(yǎng)餐中心運輸不少于的牛奶.由鐵路運輸每千克只需運費0.58元;由公路運輸,每千克需運費0.28元,還需其他費用600元.請?zhí)骄坎⒄f明選用哪種運輸方式所需費用較少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,EF是Rt△ABC的中位線,∠BAC=90°,AD是斜邊BC邊上的中線,EF和AD相交于點O,則下列結(jié)論不正確的是( )
A. AO=ODB. EF=ADC. S△AEO=S△AOFD. S△ABC=2S△AEF
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