Question

如圖，弦AB和CD相交于⊙O內(nèi)一點(diǎn)P，求證：PA•PB=PC•PD．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，DB，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)P，由同弧所對(duì)的圓周角相等可得一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似，可得三角形APC與三角形BPD相似，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，變形后即可得證．
解答：證明：連接AC、DB，
∵=，
∴∠A=∠D，
又∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴，
∴PA•PB=PC•PD．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，對(duì)于乘積形式的證明，常常將乘積形式化為比例式，利用相似三角形來解決，證明相似三角形的常用方法有：兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩三角形相似．