【題目】如圖,已知在中,,,,點(diǎn)、分別在邊、射線上,且,過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),聯(lián)結(jié),以、為鄰邊作平行四邊形,設(shè),平行四邊形的面積為.
(1)當(dāng)平行四邊形為矩形時(shí),求的正切值;
(2)當(dāng)點(diǎn)在內(nèi),求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫(xiě)出它的定義域;
(3)當(dāng)過(guò)點(diǎn)且平行于的直線經(jīng)過(guò)平行四邊形一邊的中點(diǎn)時(shí),直接寫(xiě)出的值.
【答案】(1);(2);(3),.
【解析】
(1)當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí),PQ∥AB.根據(jù)tan∠PQM=求解即可.
(2)如圖1中,延長(zhǎng)QN交AB于K.求出MK,PM,根據(jù)y=PMMK求解即可.
(3)分兩種情形:①如圖31中,當(dāng)平分MN時(shí),D為MN的中點(diǎn),作NE∥BC交PQ于E,作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H,EG⊥BC于G.根據(jù)EG=PC構(gòu)建方程求解.②如圖32中,當(dāng)平分NQ時(shí),D是NQ的中點(diǎn),作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H.根據(jù)PC=GH構(gòu)建方程求解即可.
(1)在Rt△ACB中,∵∠C=90,AC=8,BC=6,
∴AB===10,
當(dāng)四邊形PQMN是矩形時(shí),PQ∥AB.
∴tan∠PQM==.
(2)如圖1中,延長(zhǎng)QN交AB于K.
∵∠C=90,AC=8,BC=6,AB=10
∴sinA=cosB==,cosA=sinB=,
由,得BQ=6x,QN=PM=APsinA=x,AM=APcosA=x,KQ=BQsinB=BQ=,BK=BQcosB=BQ=,
∴MK=ABAMBK=,
∵QN<QK,
∴x<,
∴x<,
∴y=PMMK=x×=(0≤x<).
(3)①如圖31中,當(dāng)平分MN時(shí),D為MN的中點(diǎn),作NE∥BC交PQ于E,作NH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H,EG⊥BC于G.
∵PD∥BC,EN∥BC,
∴PD∥NE,
∵PE∥DN,
∴四邊形PDNE是平行四邊形,
∴PE=DN,
∵DN=DM,PQ=MN,
∴PE=EQ,
∵EG∥PC,
∴CG=GQ,
∴EG=PC,
∵四邊形EGHN是矩形,
∵
∴QN⊥AB
則∠ABC+∠NQH=∠NQH +∠QNH=90°
∴∠ABC=∠QNH
∴NH=EG=NQcos∠QNH= NQcos∠ABC =NQ=PM=×x =x,PC=8x,
∴x=(8x),
解得x=.
②如圖32中,當(dāng)平分NQ時(shí),D是NQ的中點(diǎn),作DH⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于H.
∵DH=PC,
∴8x=x,
解得x=,
綜上所述,滿足條件x的值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊△ABC中,D,E,F(xiàn)分別是BC,AC,AB上的點(diǎn),DE⊥AC,EF⊥AB,
FD⊥BC,則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D,E分別是邊BC,AB上的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F,使EF=2DF,連接CE、AF.
(1)證明:AF=CE;
(2)當(dāng)∠B=30°時(shí),試判斷四邊形ACEF的形狀并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將一盒足量的牛奶按如圖1所示倒入一個(gè)水平放置的長(zhǎng)方體容器中,當(dāng)容器中的牛奶剛好接觸到點(diǎn)P時(shí)停止倒入,圖2是它的平面示意圖,請(qǐng)根據(jù)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)填空:AP= cm,PF= cm.
(2)求出容器中牛奶的高度CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在梯形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊AB,CD上,AD∥EF∥BC,EF與BD交于點(diǎn)G,AD=5,BC=10,=.
(1)求EF的長(zhǎng);
(2)設(shè)=,=,那么= ,= .(用向量、表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我區(qū)某校組織了一次“詩(shī)詞大會(huì)”,張老師為了選拔本班學(xué)生參加,對(duì)本班全體學(xué)生詩(shī)詞的掌握情況進(jìn)行了調(diào)查,并將調(diào)查結(jié)果分為了三類:A:好,B:中,C:差.請(qǐng)根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)全班學(xué)生共有 人;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,B類占的百分比為 %,C類占的百分比為 %;
(3)將上面的條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(4)小明被選中參加了比賽.比賽中有一道必答題是:從下表所示的九宮格中選取七個(gè)字組成一句詩(shī),其答案為“便引詩(shī)情到碧霄”.小明回答該問(wèn)題時(shí),對(duì)第四個(gè)字是選“情”還是選“青”,第七個(gè)字是選“霄”還是選“宵”,都難以抉擇,若分別隨機(jī)選擇,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求小明回答正確的概率.
情 | 到 | 碧 |
霄 | 詩(shī) | 青 |
引 | 宵 | 便 |
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A為圓心AB長(zhǎng)為半徑作弧交AD于點(diǎn)F,分別以點(diǎn)B、F為圓心,同樣長(zhǎng)度m為半徑作弧,交于點(diǎn)G,連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E,若BF=6,AB=4,則AE的長(zhǎng)為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B(3,0),與軸交于點(diǎn)C(0,3),P是線段BC上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PN∥軸交軸于點(diǎn)N,交拋物線于點(diǎn)M.
(1)求該拋物線的表達(dá)式;
(2)如果點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2,點(diǎn)Q是第一象限拋物線上的一點(diǎn),且△QMC和△PMC的面積相等,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)如果,求tan∠CMN的值.
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【題目】“單詞的記憶效率”是指復(fù)習(xí)一定量的單詞,一周后能正確默寫(xiě)出的單詞個(gè)數(shù)與復(fù)習(xí)的單詞個(gè)數(shù)的比值.右圖描述了某次單詞復(fù)習(xí)中四位同學(xué)的單詞記憶效率與復(fù)習(xí)的單詞個(gè)數(shù)的情況,則這四位同學(xué)在這次單詞復(fù)習(xí)中正確默寫(xiě)出的單詞個(gè)數(shù)最多的是( )
A. B. C. D.
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