Question

（本小題滿分10分）已知：如圖，⊙與軸交于C、D兩點(diǎn)，圓心的坐標(biāo)
為（1，0），⊙的半徑為，過(guò)點(diǎn)C作⊙的切線交軸于點(diǎn)B（－4，0）
 
小題1:（1）求切線BC的解析式；
小題2:（2）若點(diǎn)P是第一象限內(nèi)⊙上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙A的切線與直線BC相交于點(diǎn)G，
且∠CGP＝120°，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
小題3:（3）向左移動(dòng)⊙（圓心始終保持在軸上），與直線BC交于E、F，在移動(dòng)過(guò)程中是否存在點(diǎn)，使得△AEF是直角三角形？若存在，求出點(diǎn) 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）連接AC，由勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理，由切線的性質(zhì)及勾股定理即可得出OB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出B點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出過(guò)BC兩點(diǎn)的直線解析式；
（2）過(guò)G點(diǎn)作x軸垂線，垂足為H，連接AG，設(shè)G（x₀，y₀），在Rt△ACG中利用銳角三角函數(shù)的定義可求出CG的長(zhǎng)，
由勾股定理可得出BC的長(zhǎng)，由OC∥GH可得出
= ，進(jìn)而可求出G點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）假設(shè)△AEF為直角三角形，由AE=AF可判斷出△AEF為等腰三角形，可得出∠EAF=90°，過(guò)A作AM⊥BC于M，
在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF的長(zhǎng)度，證出△BOC∽△BMA，由相似三角形的性質(zhì)可得出A點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)圓心A在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，設(shè)圓心為A′，過(guò)A′作A′M′⊥BC于M′，可得△A′M′B′≌△AMB，由全等三角形的性質(zhì)可得出A′點(diǎn)的坐標(biāo)．
小題1:（1）連接，∵是⊙A的切線，∴．
∴．
∵，∴，∴．
∴△∽△，∴．
即，∴．∴點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2）．
設(shè)直線的解析式為，∵該直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（－4，0）與點(diǎn)（0，2），
∴    解得   
∴該直線解析式為．

小題2:（2）連接，過(guò)點(diǎn)作．
由切線長(zhǎng)定理知
．
在中，∵，
∴．
在中，由勾股定理得 
．
∴．
又∵．
∴∽，∴，
∴．
則是點(diǎn)的縱坐標(biāo)，
∴，解得．
∴點(diǎn)的坐標(biāo)．……………4分
小題3:(3)如圖示，當(dāng)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)
∵、在⊙上，∴．
若△是直角三角形，則，且為等腰直角三角形．
過(guò)點(diǎn)作，在中由三角函數(shù)可知
．
又∵∽，
∴ ，
∴．
∴，
∴點(diǎn) 坐標(biāo)是．
當(dāng)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：同理可求點(diǎn) 坐標(biāo)是．……………6分