Question

【題目】愛好思考的小茜在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖（1）、圖（2）、圖（3）中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”．設(shè)BC=a，AC=b，AB=c．

（特例探究）

（1）如圖1，當(dāng)tan∠PAB=1，c=2時，a=　 　，b=　 　；

如圖2，當(dāng)∠PAB=30°，c=4時，a=　 　，b=　 　；

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論．

（拓展證明）

（3）如圖4，ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點，且AD=3AE，BC=3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點G，AD=6，AB=6，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）4，4，，；（2）猜想：a 2，b2，c2三者之間的關(guān)系是：a2+b2=5c2（3）AF=2

【解析】

試題(1)①由等腰直角三角形的性質(zhì)得到AP=BP=AB=4，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),得到EF∥AB，EF=AB=2，再由勾股定理得到結(jié)果；②如圖2，連接EF，類比①，結(jié)合△PEF～△ABP進行求解；

(2)連接EF，類比著(1)即可證得結(jié)論;

(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=GF，得到BG是△ABF的中線,取AB的中點H,連接FH,并延長交DA的延長線于P,推出四邊形CSPF是平行四邊形,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FP∥CE,得到△ABF是中垂三角形,于是得到結(jié)論.

解：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，

∴AP=BP=AB=4，

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF∥AB，EF=AB=2，

∴∠PFE=∠PEF=45°，

∴PE=PF=2，

在Rt△FPB和Rt△PEA中，

AE=BF==2，

∴AC=BC=4，

∴a=b=4，

如圖2，連接EF，

同理可得：EF=×2=1，

∵EF∥AB，

∴△PEF～△ABP，

∴=，

在Rt△ABP中，

AB=2，∠ABP=30°，

∴AP=1，PB=，

∴PF=，PE=，

在Rt△APE和Rt△BPF中，

AE=，BF=，

∴a=，b=，

故答案為：4，4，，；

（2）猜想：a 2，b2，c2三者之間的關(guān)系是：a2+b2=5c2，

證明：如圖3，連接EF，

∵AF，BE是△ABC的中線，

∴EF是△ABC的中位線，

∴EF∥AB．且 EF=AB=c．

∴==，

設(shè) PF=m，PE=n 則AP=2m，PB=2n，

在Rt△APB中，（2m）2+（2n）2=c2①

在Rt△APE中，（2m）2+n2=（）2②

在Rt△BPF中，m2+（2n）2=（）2③

由①得：m2+n2=，由②+③得：5（ m2+n2）=，

∴a 2+b2=5 c2；

（3）在△AGE與△FGB中，

，

∴△AGE≌△FGB，

∴BG=EG，AG=GF，

∴BG是△ABF的中線，

如圖4，取AB的中點H，連接FH，并延長交DA的延長線于P，

同理，△APH≌△BFH，

∴AP=BF，PE=CF=2BF，

∴PE∥CF，PE=CF，

∴四邊形CSPF是平行四邊形，

∴FP∥CE，

∵BE⊥CE，

∴FP⊥BE，即FH⊥BG，

∴△ABF是中垂三角形，

由（2）知，AB2+AF2=5BF2，

∵AB=6，BF=AD=2，

∴36+AF2=5×（2）2，

∴AF=2．