Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（5，2），點(diǎn)P是CB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合），連結(jié)OP、AP，過點(diǎn)O作射線OE交AP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交CB邊于點(diǎn)M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，OP⊥AP？

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在x，使△OCM的面積與△ABP的面積之和等于△EMP的面積？若存在，請(qǐng)求x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）()；（2）當(dāng)時(shí)，；（3）存在，

【解析】

（1）證明，得到，得到x、y的函數(shù)關(guān)系式，

（2）若OP⊥AP，則可證得，得到關(guān)于x的方程，解方程，把不合題意值舍去即可；

（3）過E作于點(diǎn)D，交MP于點(diǎn)F，證明，得到關(guān)于y的方程，求出y，在根據(jù)（1）求出x，把不合題意值舍去即可．

（1）如圖，∵BC∥OA，

∴．

∵，

∴．

∵，

∴．

∴，即．

∴，x的取值范圍是．

（2）如圖，由題意知，

，，，，

∵，∴．

∴．∴．

∴，即，解得，（不合題意，舍去）．

∴當(dāng)時(shí)，．

（3）假設(shè)存在x符合題意．

如圖，過E作于點(diǎn)D，交MP于點(diǎn)F，則．

∵與面積之和等于的面積，

∴．

∴，．

∵PM∥OA，

∴．

∴．

即，解得．

∴由（2）得，．

解得，，（不合題意舍去）．

∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，存在，使與面積之和等于的面積．