Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，PO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)Q。

（1）求證：OP=OQ；

（2）若AD=8cm，AB=6cm，P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/秒的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D重合），設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)用t表示PD的長(zhǎng)；并求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQD是菱形。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析：（1）由矩形ABCD中，O為BD的中點(diǎn)，易證得△PDO≌△QBO（ASA），繼而證得OP=OQ；（2）AD=8cm，AP=tcm，即可用t表示PD的長(zhǎng)；

（3）由四邊形PBQD是菱形，可得PB=PD，即可得AB+AP=PD，繼而可得方程6+t=(8-t)，解此方程即可求得答案

本題解析：．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，∵O為BD的中點(diǎn)，∴DO=BO，

在△PDO和△QBO中，

∴△PDO≌△QBO（ASA），∴OP=OQ；

（2）由題意知：AD=8cm，AP=tcm，∴PD=8﹣t，

（3）∵PB=PD，∴PB2=PD2，即AB2+AP2=PD2，

∴62+t2=(8-t)2，解得 t= ，

∴當(dāng)t=時(shí)，PB=PD．