Question

14．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2x+y-3，x-2y），它關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（x+3，y-4），關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A₂．
（1）求A₁、A₂的坐標(biāo)；
（2）證明：O為線段A₁A₂的中點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”列方程組求出x、y的值，從而得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)“關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫出點(diǎn)A₁的坐標(biāo)，根據(jù)“關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)”寫出點(diǎn)A₂的坐標(biāo)；
（2）設(shè)經(jīng)過OA₁的直線解析式為y=kx，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線解析式，再求出點(diǎn)A₂在直線上，然后利用勾股定理列式求出OA₁=OA₂，最后根據(jù)線段中點(diǎn)的定義證明即可．

解答 （1）解：∵點(diǎn)A（2x+y-3，x-2y）與A₁（x+3，y-4）關(guān)于x軸對稱，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-3=x+3}\\{x-2y=-（y-4）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以，A（8，3），
所以，A₁（8，-3），A₂（-8，3）；

（2）證明：設(shè)經(jīng)過O、A₁的直線解析式為y=kx，
易得：y_OA1=-$\frac{3}{8}$x，
又∵A₂（-8，3），
∴A₂在直線OA₁上，
∴A₁、O、A₂在同一直線上，
由勾股定理知OA₁=OA₂=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$，
∴O為線段A₁A₂的中點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了關(guān)于x軸、y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是掌握好對稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：
（1）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．