Question

【題目】經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線．

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線

（2）在△ABC中，∠A=52°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)．

（3）如圖2，△ABC中，AC=3，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）∠ACB=96°或104°；（3）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)完美分割線的定義只要證明①△ABC不是等腰三角形，②△ACD是等腰三角形，③△BDC∽△BCA即可．

（2）分三種情形討論即可①如圖2，當AD＝CD時，②如圖3中，當AD＝AC時，③如圖4中，當AC＝CD時，分別求出∠ACB即可．

（3）設(shè)BD＝x，利用△BCD∽△BAC，得，列出方程即可求出BD的長，然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出CD的長．

試題解析：

（1）證明：如圖1中，

∵∠A＝40°，∠B＝60°，

∴∠ACB＝80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，

∴∠ACD＝∠A＝40°，

∴△ACD為等腰三角形，

∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD是△ABC的完美分割線． 　　　　　

（2）①當AD＝CD時，如圖2，

∠ACD＝∠A＝52°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝104°．　　　　　　　　　

②當AD＝AC時，如圖3中，

∠ACD＝∠ADC＝＝64°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝116°．　　　　　　　

③當AC＝CD時，如圖4中，

∠ADC＝∠A＝52°，

∵△BDC∽△BCA，

∴∠BCD＝∠A＝52°，

∴∠ADC＝∠BCD

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍棄．

綜上所述，∠ACB＝96°或104°．　　　　　　　　　　　

（3）由已知AC＝AD＝3，

∵△BCD∽△BAC，

∴＝，設(shè)BD＝x，

∴22＝x（x＋3），

∵x＞0，

∴x＝1，

∵△BCD∽△BAC，

∴＝，即，

∴CD＝．