【題目】直角三角形紙片ABC中,∠ACB=90°,AC≤BC,如圖,將紙片沿某條直線折疊,使點A落在直角邊BC上,記落點為D,設(shè)折痕與AB、AC邊分別交于點E、F.

(1)如果∠AFE=65°,求∠CDF的度數(shù);

(2)若折疊后的△CDF與△BDE均為等腰三角形,那么紙片中∠B的度數(shù)是多少?寫出你的計算過程,并畫出符合條件的折疊后的圖形.

【答案】(1)40°;(2)45°30°;圖見解析;

【解析】

(1)根據(jù)翻折的性質(zhì),得到∠AFE=DFE=65°,即可求出∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°,根據(jù)直角三角形兩個銳角互余的性質(zhì)即可求出∠CDF的度數(shù).

(2)先確定CDF是等腰三角形,得出∠CFD=CDF=45°,因為不確定BDE是以那兩條邊為腰的等腰三角形,故需討論,①DE=DB,BD=BE,DE=BE,然后分別利用角的關(guān)系得出答案即可.

(1)根據(jù)翻折不變性可知:∠AFE=DFE=65°,

∴∠CFD=180°﹣65°﹣65°=50°,

∵∠C=90°,

∴∠CDF=90°﹣50°=40°.

(2)∵△CDF中,∠C=90°,且CDF是等腰三角形,

CF=CD,

∴∠CFD=CDF=45°,

設(shè)∠DAE=x°,由對稱性可知,AF=FD, AE=DE,

∴∠FDA=CFD=22.5°,DEB=2x°,

分類如下:

①當DE=DB時,∠B=DEB=2x°,

由∠CDE=DEB+B,得45°+22.5°+x=4x,

解得:x=22.5°.此時∠B=2x=45°;

見圖形(1),說明:圖中AD應(yīng)平分∠CAB.

②當BD=BE時,則∠B=(180°﹣4x)°,

由∠CDE=DEB+B得:45°+22.5°+x=2x+180°﹣4x,

解得x=37.5°,此時∠B=(180﹣4x)°=30°.

圖形(2)說明:∠CAB=60°,CAD=22.5°.

DE=BE時,則

由∠CDE=DEB+B得,45°+22.5°+x=2x+,

此方程無解.

DE=BE不成立.

綜上所述B=45°30°.

練習(xí)冊系列答案
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平均成績(環(huán))

中位數(shù)(環(huán))

眾數(shù)(環(huán))

方差

a

7

7

1.2

7

b

8

c

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