Question

等腰直角三角形ABC的斜邊BC的長為8，直線MN∥BC且與AB、AC分別交于M、N，將△AMN沿直線MN翻折得△A′MN，設(shè)△A′MN與△ABC重合部分面積為y，MN=x，
（1）當(dāng)A′在△ABC內(nèi)部時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求x的取值范圍；
（2）是否存在直線MN，使y的值為△ABC面積的

1

3

？若存在，求對應(yīng)的x值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)锳′在ABC的內(nèi)部，所以△A′MN的面積既是△AMN的面積，從而利用等腰直角三角形的性質(zhì)即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）先計(jì)算△ABC的面積，分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)A′在BC邊上或在△ABC內(nèi)部時(shí)，0＜y≤4，根據(jù)（1）的函數(shù)關(guān)系式可作出判斷；②當(dāng)A′在△ABC外部時(shí)，求出梯形MNED的面積，結(jié)合題意可得出x的值，符合題意即存在，不符合則不存在．

解答：解：（1）y=S_△A′MN=

1

2

•

2

2

x•

2

2

x=

1

4

x²（0＜x＜4）；

（2）S_△ABC=

1

2

×8×4=16，當(dāng)A′在BC上時(shí)，x=4，y=4，
∴①當(dāng)A′在BC邊上或在△ABC內(nèi)部時(shí)，0＜y≤4，

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不在這個(gè)范圍內(nèi)，所以這時(shí)不存在直線MN．
②當(dāng)A′在△ABC外部時(shí)，連AA′交MN于F，交BC于G，且A′F=AF=

1

2

x，
∴FG=4-

1

2

x，
∴A′G=

1

2

x-4+

1

2

x=x-4，
∴DE=2A′G=2x-8，
∴y=

1

2

（x+2x-8）×（4-

1

2

x）=-

3

4

x²+8x-16（其中4＜x＜8），
當(dāng)y=

16

3

時(shí)，
∵-

3

4

x²+8x-16=

16

3

，
即：（3x-16）²=0，
解為x₁=x₂=

16

3

，
∵4＜x＜8，
∴存在直線MN使重疊部分面積為△ABC面積的

1

3

，
此時(shí)x=

16

3

．

點(diǎn)評：本題考查翻折變換及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確的畫出示意圖，利用所學(xué)的知識表示出重疊的面積，要求同學(xué)們熟練基礎(chǔ)知識的掌握，此類綜合題一般要求對基礎(chǔ)知識比較熟悉才能解答出來．