Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與與點(diǎn)D重合），PO的延長線交BC于Q點(diǎn)．

（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形．

（2）若AB＝6cm，AD＝8cm，P從點(diǎn)A出發(fā)．以1cm/秒的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形．

【解析】

（1）依據(jù)矩形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，通過全等三角形的判定定理判定△POD≌△QOB，所以OP=OQ，則四邊形PBQD的對(duì)角線互相平分，故四邊形PBQD為平行四邊形．
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，AP=tcm，PD=（4-t）cm．當(dāng)四邊形PBQD是菱形時(shí)，PB=PD=（4-t）cm．在直角△ABP中，根據(jù)勾股定理得AP2+AB2=PB2，即t2+32=（4-t）2，由此可以求得t的值．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO＝∠QBO，

在△POD和△QOB中，

∴△POD≌△QOB（ASA），

∴OP＝OQ；

又∵OB＝OD

∴四邊形PBQD為平行四邊形；

（2）答：能成為菱形；

證明：t秒后AP＝t，PD＝8﹣t，

若四邊形PBQD是菱形，

∴PD＝BP＝8﹣t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2，

即62+t2＝（8﹣t）2，

解得：t＝．

即點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，四邊形PBQD是菱形．