【題目】如圖,直徑為10的半圓O,tan∠DBC= ,∠BCD的平分線交⊙O于F,E為CF延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且∠EBF=∠GBF.
(1)求證:BE為⊙O切線;
(2)求證:BG2=FGCE;
(3)求OG的值.
【答案】
(1)證明:由同弧所對(duì)的圓周角相等得∠FBD=∠DCF,
又∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF,
已知∠EBF=∠GBF,
∴∠EBF=∠∠BCF,
∵BC為⊙O直徑,
∴∠BFC=90°,
∴∠FBC+∠FCB=90°,
∴∠FBC+∠EBF=90°,
∴BE⊥BC,
∴BE為⊙O切線
(2)證明:由(1)知∠BFC=∠EBC=90°,∠EBF=∠ECB,
∴△BEF∽△CEB,
∴BE2=EFCE,
又∠EBF=∠GBF,BF⊥EG,
∴∠BFE=∠BFG=90°,
在△BEF與△BGF中, ,
∴△BEF≌△BGF,
∴BE=BG,EF=FG,
∴BG2=FGCE
(3)解:如圖,過(guò)G作GH⊥BC于H,
∵CF平分∠BCD,
∴GH=GD,
∵tan∠DBC= ,
∴sin∠DBC= ,
∵BC=10,
∴BD=8,BG=BD﹣GD=8﹣GD,
∴ = ,
∴GD=GH=3,BG=5,BH=4,
∵BC=10,∴OH=OB﹣BH=1,
在Rt△OGH中,由勾股定理得OG= .
【解析】(1)首先依據(jù)圓周角定理得到∠FBD=∠DCF,結(jié)合角平分線的定義可證明∠EBF=∠∠BCF,故此可得到BE⊥BC;
(2)由(1)知∠BFC=∠EBC=90°,∠EBF=∠ECB,然后依據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE2=EFCE,得到∠BFE=∠BFG=90°,故此可證明△BEF≌△BGF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=BG,EF=FG,最后,通過(guò)等量代換可得到問(wèn)題的答案;
(3)過(guò)G作GH⊥BC于H,首先依據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GH=GD,接下來(lái),在依據(jù)三角函數(shù)的定義得到==從而可求得DG的長(zhǎng),最后,在依據(jù)勾股定理求解即可.
【考點(diǎn)精析】利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知切線的判定方法:經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線;相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論:①abc<0;②2a+b<0;③b2﹣4ac=0;④8a+c<0;⑤a:b:c=﹣1:2:3,其中正確的結(jié)論有 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y1=ax2+bx﹣4(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0)和點(diǎn)B(4,0).
(1)求拋物線y1的函數(shù)解析式;
(2)如圖①,將拋物線y1沿x軸翻折得到拋物線y2 , 拋物線y2與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸交拋物線y1于點(diǎn)E,求線段DE的長(zhǎng)度的最大值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)線段DE處于長(zhǎng)度最大值位置時(shí),作線段BC的垂直平分線交DE于點(diǎn)F,垂足為H,點(diǎn)P是拋物線y2上一動(dòng)點(diǎn),⊙P與直線BC相切,且S⊙P:S△DFH=2π,求滿(mǎn)足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某體育老師測(cè)量了自己任教的甲、乙兩班男生的身高,并制作了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表
身高分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
152≤ x<155 | 3 | 0.06 |
155≤ x<158 | 7 | 0.14 |
158≤ x<161 | m | 0.28 |
161≤ x<164 | 13 | n |
164≤ x<167 | 9 | 0.18 |
167≤ x<170 | 3 | 0.06 |
170≤ x<173 | 1 | 0.02 |
根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖表完成下列問(wèn)題:
(1)統(tǒng)計(jì)表中m=____,n=____;并將頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整;
(2)在這次測(cè)量中兩班男生身高的中位數(shù)在什么范圍內(nèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中考體育測(cè)試前,某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男生的成績(jī)情況,隨機(jī)抽測(cè)了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績(jī),并將測(cè)試得到的成績(jī)繪成了下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:
()寫(xiě)出扇形圖中__________,并補(bǔ)全條形圖.
()在這次抽測(cè)中,測(cè)試成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是__________個(gè)、__________個(gè).
()該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有人,如果體育中考引體向上達(dá)個(gè)以上(含個(gè))得滿(mǎn)分,請(qǐng)你估計(jì)該區(qū)體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿(mǎn)分的有多少名?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分線,DE交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接CD,則CD=( )
A.3
B.4
C.4.8
D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】知識(shí)鏈接:將兩個(gè)含30°角的全等三角尺放在一起,讓兩個(gè)30°角合在一起成60°,經(jīng)過(guò)拼湊、觀察、思考,探究出“直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”結(jié)論.
如圖:等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4cm,點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E從B出發(fā)沿AB的延長(zhǎng)線BF向右運(yùn)動(dòng),已知點(diǎn)D、E都以每秒0.5cm的速度同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)過(guò)程中DE與BC相交于點(diǎn)P,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出AD長(zhǎng).(用x的代數(shù)式表示)
(2)當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí),運(yùn)動(dòng)時(shí)間為幾秒?
(2)求證:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)P始終為線段DE的中點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某水平地面上建筑物的高度為AB,在點(diǎn)D和點(diǎn)F處分別豎立高是2米的標(biāo)桿CD和EF,兩標(biāo)桿相隔52米,并且建筑物AB,標(biāo)桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi),從標(biāo)桿CD后退2米到點(diǎn)G處,在G處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端C在同一條直線上;從標(biāo)桿FE后退4米到點(diǎn)H處,在H處測(cè)得建筑物頂端A和標(biāo)桿頂端E在同一條直線上,求建筑物的高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在彈性限度內(nèi),彈簧掛上物體后會(huì)伸長(zhǎng),測(cè)得彈簧的長(zhǎng)度 y(cm)與所掛物體的質(zhì)量 x(kg)之間有如下表關(guān)系:
下列說(shuō)法不正確的是( )
A.y 隨 x 的增大而增大B.所掛物體質(zhì)量每增加 1kg彈簧長(zhǎng)度增加 0.5cm
C.所掛物體為 7kg時(shí),彈簧長(zhǎng)度為 13.5cmD.不掛重物時(shí)彈簧的長(zhǎng)度為 0cm
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