【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=4,點(diǎn)EBC上一點(diǎn),且tan∠BAE=,點(diǎn)FCD的中點(diǎn),連接AE、BF△ABE著點(diǎn)E按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使點(diǎn)B落在BF上的B1處位置處,點(diǎn)A經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)落在A1點(diǎn)位置處,連接AA1BF于點(diǎn)N.

(1)求證:∠BFC=∠A1 B1F;

(2)說(shuō)明點(diǎn)NAA1的中點(diǎn);

(3)求AN的長(zhǎng).

【答案】(1)詳見(jiàn)解析; (2)詳見(jiàn)解析;(3)

【解析】試題分析:(1)已知四邊形ABCD是正方形,根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB∥CD,即可得∠ABF=∠CFB,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得EB=EB1,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EBB1=∠EB1B,再由∠ABC=∠EB1A1=90°,即可得∠ABF+∠EBB′=90°,∠BB1E+∠A1B1F=90°,所以∠A1B1F=∠ABF=∠BFC;(2)EP⊥BF,A1Q⊥BF,取BC的中點(diǎn)M,連接AB1,B1M,可得點(diǎn)PBB1的中點(diǎn),根據(jù)三角形的中位線定理可得EP∥MB1即可得MB1⊥BB1;易證△BPE∽△BCF,即可求得BP=,EP=從而求得BB1= ,再證明A,B1,M三點(diǎn)共線,即可得AB1=,再證明△AB1N≌△A1QN,即可得AN=A1N,從而證得NAA1的中點(diǎn);(3)由△AB1N≌△A1QN,可得B1N=B1Q=,根據(jù)勾股定理即可求得AN=

試題解析:

(1)∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB∥CD,

∴∠ABF=∠CFB,

∵EB=EB1,

∴∠EBB1=∠EB1B,

∵∠ABC=∠EB1A1=90°,

∴∠ABF+∠EBB′=90°,∠BB1E+∠A1B1F=90°,

∴∠A1B1F=∠ABF=∠BFC.

(2)作EP⊥BF,A1Q⊥BF,取BC的中點(diǎn)M,連接AB1,B1M,

點(diǎn)PBB1的中點(diǎn),

∵EBM中點(diǎn),

∴EP∥MB1,

∴MB1⊥BB1

由旋轉(zhuǎn)得,△BPE∽△BCF,

∴BP=,EP=,

∵PB1=PB=,

∴BB1=,

∵sin∠FBC===

∴∠AB1B=90°,

∴A,B1,M三點(diǎn)共線,

∴AB1=,

∵∠B1A1Q=∠BB1E=∠FBC,

∴△B1QA1∽△FCB,

∴B1Q=,A1Q==AB1,

∴△AB1N≌△A1QN,

∴AN=A1N,

∴NAA1的中點(diǎn).

(3)∵△AB1N≌△A1QN,

∴B1N=B1Q=,

根據(jù)勾股定理得,AN==

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