如圖,在平面直角坐標系中,O是原點,A、B、C三點的坐標分別為A(30,0),B(24,6),C(8,6).點P、Q同時從原點出發(fā),分別作勻速運動,其中點P沿OA向終點A運動,速度為每秒3個單位,點Q沿OC、CB向終點B運動,速度為每秒2個單位.當這兩點有一點達到自己的終點時,另一點也停止運動.設(shè)運動時間精英家教網(wǎng)為t(秒).
(1)當點Q在OC上運動時,試求點Q的坐標;(用t表示)
(2)當點Q在CB上運動時;
①當t為何值時,四邊形OPQC為等腰梯形?
②是否存在實數(shù)t,使得四邊形PABQ為平行四邊形?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.
分析:(1)設(shè)出直線OC的方程為y=kx,把C的坐標代入即可求出k的值,確定出直線OC的方程,當Q在OC上運動時,設(shè)出Q的坐標,由Q的速度是每秒2個單位,運動時間為t秒,故OQ=2t,根據(jù)勾股定理列出關(guān)于m的方程,求出方程的解即可用t表示出m的值,確定出Q的坐標;
(2)①當Q在CB上運動時,得到CQ=2t-10,從而表示出Q的坐標和P的坐標,根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到OD=EP,列出關(guān)于t的方程,求出方程的解即可得到滿足題意t的值;
②假設(shè)存在t的值,使得四邊形PABQ為平行四邊形,從而得到PE=FA=6,列出關(guān)于t的方程,求出t的值,而根據(jù)Q在CB上運動,P在OA上運動,列出關(guān)于t的不等式組,求出不等式的解集得到t的范圍,求出t的值不在這個范圍中,故假設(shè)錯誤,則不存在t,使得PABQ為平行四邊形.
解答:解:(1)設(shè)直線OC的方程為y=kx,把C(8,6)代入方程得:k=
3
4

所以直線OC的方程為y=
3
4
x,
設(shè)Q(m,
3
4
m),∵OQ=2t,
根據(jù)勾股定理得m2+(
3
4
m)2=4t2,
∵m>0,t>0,∴m=
8
5
t,
3
4
m=
6
5
t,
則Q坐標為(
8
5
t,
6
5
t);

(2)①當點Q在CB上運動時,CQ=2t-10,從而點Q(2t-2,6),P(3t,0),
當四邊形OPQC為等腰梯形時,OD=EP=8,精英家教網(wǎng)
∴8+2t-10+8=3t,解得t=6(秒),
則當t=6秒時,四邊形OPQC為等腰梯形;
②若存在實數(shù)t,使得四邊形PABQ是平行四邊形,
則EP=FA=6,∴3t-(2t-2)=6,解得t=4(秒),
8≤2t-2<24
0≤3t≤30
,解得5≤t≤10,
t=4不屬于此范圍,所以假設(shè)錯誤,
則不存在實數(shù)t,使得四邊形PABQ是平行四邊形.
點評:此題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì),以及勾股定理,考查了數(shù)形結(jié)合的思想,是一道運動型的題,要求學(xué)生借助圖形,找準動點運動的運動軌跡來解決問題.第二問的第二小問利用了反證法進行說明,方法為:先假設(shè)存在t使得PABQ為平行四邊形,求出此時的t的值不在求出t的范圍之中,得出矛盾,故假設(shè)錯誤,則不存在t使得PABQ為平行四邊形.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標;
(2)當∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標.

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(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標xoy中,以坐標原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標為(4,0),D點坐標為(0,3),則AC長為
5
5

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如圖,在平面直角坐標xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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