Question

如圖，平面直角坐標系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A，C分別在x軸，y軸上，點B坐標為（m，）（其中m＞0），在BC邊上選取適當?shù)狞cE和點F，將△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再將△ABF沿AF翻折，恰好使點B與點G重合，得到△AGF，且∠OGA=90°。
（1）求m的值；
（2）求過點O，G，A的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點P的坐標（不要求寫出求解過程）。
【提示：拋物線的對稱軸是，頂點坐標是】

Answer 1

解：（1）∵B（m，）， 由題意可知AG=AB=，OG=OC=，OA=m ∵∠OGA=90°， ∴OG2+AG2=OA2 ∴2+2=m2 又∵m＞0， ∴m=2； （2）過G作直線GH⊥x軸于H， 則OH=1，HG=1，故G（1，1）， 又由（1）知A（2，0）， 設過O，G，A三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c ∵拋物線過原點， ∴c=0， 又∵拋物線過G，A兩點， ∴， 解得， ∴所求拋物線為y=-x2+2x，它的對稱軸為x=1； （3）答：存在， 滿足條件的點P有（1，0），（1，-1），（1，1-），（1，1+）。