【題目】正方形ABCD的邊長為2,M、N分別為邊BC、CD上的動點,且∠MAN=45°
(1)猜想線段BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系并證明;
(2)若BM=CM,P是MN的中點,求AP的長;
(3)M、N運動過程中,請直接寫出△AMN面積的最大值 和最小值 .
【答案】(1)BM+DN=MN;(2);(3)2,4﹣4.
【解析】
(1)延長CB到E,使BE=DN,連接AE,根據(jù)SAS證△ABE≌△ADN,推出AE=AN,∠DAN=∠BAE,求出∠NAM=∠MAE,根據(jù)SAS證出△NAM≌△EAM,從而得到BM+DN=MN;
(2)如圖2,過點A作AF⊥MN,由AAS可證△ABM≌△AFM,可得AB=AF=2,MB=MF=1,由勾股定理可求DN=,即可求PF的長,由勾股定理可求AP的長;(3)由三角形的面積公式可求△AMN面積=MN,由三角形的三邊關(guān)系和完全平方公式可求MN的最大值和最小值,即可求解.
解:
(1)BM+DN=MN.
理由:如圖,延長CB至E使得BE=DN,連接AE,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠D=∠ABC=90°=∠ABE,
在△ADN和△ABE中,
,
∴△ABE≌△ADN(SAS),
∴∠BAE=∠DAN,AE=AN,
∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAM=∠MAN,
∵在△EAM和△NAM中,
,
∴△EAM≌△NAM(SAS),
∴MN=ME,
∵ME=BM+BE=BM+DN,
∴BM+DN=MN.
(2)如圖2,過點A作AF⊥MN,
∵點M是BC的中點,
∴BM=MC=BC=1,
由(1)可知:∠AMB=∠AMF,∠ABM=∠AFM=90°,AM=AM,
∴△ABM≌△AFM(AAS),
∴AB=AF=2,MB=MF=1,
∵BM+DN=MN,
∴DN=NF,
∵MC2+NC2=MN2,
∴1+(2﹣DN)2=(1+DN)2,
∴DN=,
∴MN=1+DN=,
∵P是MN的中點,
∴MP=,
∴PF=MF﹣MP=,
∴AP=.
(3)∵△AMN面積=MN×AF,
∴△AMN面積=MN,
∵MN=BM+DN,BM+CM=BC=2,DN+CN=CD=2,
∴MN+CM+CN=BC+CD=4,
∴CM+CN=4﹣MN,
∴2CMCN+CM2+CN2=(4﹣MN)2=16+MN2﹣8MN,且CM2+CN2=MN2,
∴CMCN=8﹣4MN,
∵(CM﹣CN)2≥0,
∴CM2+CN2≥2CMCN,
∴MN2≥16﹣8MN,
∴(MN+4)2≥32,
∴MN≥﹣4,或MN≤﹣﹣4(舍去),
∴MN的最小值為﹣4,
∴△AMN面積的最小值為﹣4,
∵MN+CM+CN=4,且CM+CN≤MN,
∴MN≤4﹣MN,
∴MN≤2,
∴MN的最大值為2,
∴△AMN面積的最大值為2;
故答案為2,﹣4.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在x軸正半軸上依次截取OA1=A1A2=A2A…An﹣1An(n為正整數(shù)),過點A1、A2、A3、…、An分別作x軸的垂線,與反比例函數(shù)y=(x>0)交于點P1、P2、P3、…、Pn,連接P1P2、P2P3、…、Pn﹣1Pn,過點P2、P3、…、Pn分別向P1A1、P2A2、…、Pn﹣1An﹣1作垂線段,構(gòu)成的一系列直角三角形(見圖中陰影部分)的面積和是__
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)計劃購買A型和B型課桌凳共200套,經(jīng)招標(biāo),購買一套A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元,,且購買4套A型和6套B型課桌凳共需1820元。
(1)求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元?
(2)學(xué)校根據(jù)實際情況,要求購買這兩種課桌凳總費用不能超過40880元,并且購買A型課桌凳的數(shù)量不能超過B型課桌凳的,求該校本次購買A型和B型課桌凳共有幾種方案?哪種方案的總費用最低?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C移動,同時動點Q從C出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動,設(shè)它們的運動時間為t.
(1)t為何值時,△CPQ的面積等于△ABC面積的?
(2)運動幾秒時,△CPQ與△CBA相似?
(3)在運動過程中,PQ的長度能否為1cm?試說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形,使得它的第三個頂點在△ABC的其他邊上,則可以畫出的不同的等腰三角形的個數(shù)最多為( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△OAB的頂點坐標(biāo)分別為O(0,0),A(1,2),B(3,1)(每個方格的邊長均為1個單位長度).
(1)將△OAB向右平移1個單位后得到△O1A1B1,請畫出△O1A1B1;
(2)請以O為位似中心畫出△O1A1B1的位似圖形,使它與△O1A1B1的相似比為2:1;
(3)點P(a,b)為△OAB內(nèi)一點,請直接寫出位似變換后的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對稱軸為x=1,與y軸交于點C,與x軸交于點A、點B(﹣1,0),則
①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④當(dāng)y>0時,﹣1<x<3,其中正確的個數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】某初級中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組為了了解本校學(xué)生的年齡情況,隨機(jī)抽取了該校部分學(xué)生的年齡作為樣本,經(jīng)過數(shù)據(jù)整理,繪制出如下不完整的統(tǒng)計圖.依據(jù)相關(guān)信息解答以下問題:
(1)寫出樣本容量 ,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(2)寫出樣本的眾數(shù) 歲,中位數(shù) 歲;
(3)若該校一共有600名學(xué)生.估計該校學(xué)生年齡在15歲及以上的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點的坐標(biāo)為,且,拋物線圖象經(jīng)過三點.
(1)求兩點的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)若點是直線下方的拋物線上的一個動點,作于點,當(dāng)的值最大時,求此時點的坐標(biāo)及的最大值.
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