Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段CD與BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E以每秒1cm的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)F以每秒2cm的速度從點(diǎn)B向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)四邊形BFED的面積為y，求y 關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）點(diǎn)E、F在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果由點(diǎn)C、E、F構(gòu)成的三角形與△BDC相似，求線(xiàn)段BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形BCD中，由CD與BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)，再由AD與BC平行，利用兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到一對(duì)角相等，由cos∠CBD的值求出cos∠ADB的值，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出AD的長(zhǎng)；
（2）由BD與CD的長(zhǎng)，求出三角形BCD的面積，如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，表示出三角形CEF的面積，由三角形BCD的面積減去三角形CEF的面積，即可列出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出此時(shí)t的范圍；
（3）分兩種情況考慮：①如圖3，當(dāng)∠CEF=∠BDC=90°時(shí)，△EFC∽△DBC；②如圖4，當(dāng)∠CFE=∠CDB=90°時(shí)，△EFC∽△BDC，分別由相似得比例，將各自的值代入列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
根據(jù)勾股定理得：BD=

BC2-CD2

=8cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=

BD

BC

=

8

10

=

4

5

，
∴AD=BD•cos∠ADB=

32

5

cm；                 
（2）∵BD=8cm，CD=6cm，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CD=24（cm²），
如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB，垂足為H，
在Rt△CEH中，CE=t，sinC=

BD

BC

=

8

10

=

4

5

，
∴EH=CE•sinC=

4

5

t，
∴S_△CEF=

1

2

CF•EH=

1

2

（10-2t）×

4

5

t=-

4

5

t²+4t（cm²），
∴y=S_△BCD-S_△CEF=24-（-

4

5

t²+4t）=

4

5

t²-4t+24（cm²），t的取值范圍是0＜t＜5；

（3）①如圖3，當(dāng)∠CEF=∠BDC=90°時(shí)，△EFC∽△DBC，
∴

CE

CF

=

CD

CB

=

6

10

=

3

5

，即

t

10-2t

=

3

5

，
解得：t=

30

11

，此時(shí)BF=2t=

60

11

cm；                               
②如圖4，當(dāng)∠CFE=∠CDB=90°時(shí)，△EFC∽△BDC，
∴

CF

CE

=

CD

CB

=

6

10

=

3

5

，即

10-2t

t

=

3

5

，
解得：t=

50

13

，此時(shí)BF=2t=

100

13

cm．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，以及三角形的面積求法，利用了分類(lèi)討論的思想，分類(lèi)討論時(shí)要做到不重不漏，考慮問(wèn)題要全面．