Question

如圖①，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，
（1）如果△BCE的周長等于50，∠BEC=88°，求BC的長及∠A的度數(shù)；
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分線交BC邊于點E，若BE=2，∠B=15°．求AC的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得AE=BE，則BC=△BCE的周長-（BE+CE）=△BCE的周長-AC；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得∠A的度數(shù)；
（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得AE=BE=2，則∠BAE=∠B=15°；根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠AEC=∠B+∠BAE=30°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求得AC的長．

解答：解：（1）∵AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE，BE+CE=AC=27．
∴∠A=

1

2

∠BEC=44°，BC=50-27=23．

（2）∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，
∴AE=BE=2，
∴∠BAE=∠B=15°，
∴∠AEC=∠B+∠BAE=30°，
∴AC=

1

2

AE=1．

點評：此題綜合運用了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．