Question

二次函數(shù)y=

1

8

x²的圖象如圖所示，過y軸上一點(diǎn)M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在（1）的情況下，分別過點(diǎn)A，B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在EF上是否存在點(diǎn)P，使∠APB為直角？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動時(shí)（點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合），求AC•BD的值．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數(shù)解析式，及A點(diǎn)橫坐標(biāo)-2，可求A點(diǎn)縱坐標(biāo)

1

2

，故MC=2-

1

2

=

3

2

，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，

1

8

x²），由Rt△BDM∽Rt△ACM，得相似比，可求x的值，確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若∠APB=90°，利用互余關(guān)系可得出△AEP∽△PFB，設(shè)EP=a，則PF=10-a，而AE=

1

2

，BF=8，利用相似比可求A，可得P的坐標(biāo)；
（3）依題意設(shè)A（m，

1

8

m²），B（n，

1

8

n²），且m＜0，n＞0，由Rt△BDM∽Rt△ACM，類似（1），用含m，n的式子表示相關(guān)線段的長，利用相似比得出m，n的關(guān)系式，此時(shí)AC•BD=-mn．

解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，

1

8

x²），其中x＞0．
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，
∴A（-2，

1

2

）．（2分）
∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，M（0，2），
∴AC∥BD，MC=

3

2

，MD=

1

8

x²-2．
∴Rt△BDM∽Rt△ACM．
∴

BD

AC

=

MD

MC

．
即

x

2

=

1 8 x2-2

3 2

．
解得x₁=-2（舍去），x₂=8．
∴B（8，8）．（5分）

（2）存在．（6分）
連接AP，BP，
由（1），AE=

1

2

，BF=8，EF=10．
設(shè)EP=a，則PF=10-a．
∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，∠APB=90°，
∴△AEP∽△PFB．
∴

AE

PF

=

EP

BF

，
∴

1 2

10-a

=

a

8

．
解得a=5±

21

．
經(jīng)檢驗(yàn)a=5±

21

均為原方程的解，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+

21

，0）或（3-

21

，0）．（8分）

（3）根據(jù)題意，設(shè)A（m，

1

8

m²），B（n，

1

8

n²），不妨設(shè)m＜0，n＞0．
由（1）知

BD

AC

=

MD

MC

，
則

n

-m

=

1 8 n2-2

2- 1 8 m2

或

n

-m

=

2- 1 8 n2

1 8 m2-2

．
化簡，得（mn+16）（m-n）=0．
∵m-n≠0，
∴mn=-16．
∴AC•BD=16．（10分）

點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)求法，相似三角形的判定及性質(zhì)運(yùn)用，要求掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的關(guān)系；
本題（1）也可以先求直線AM的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，求B點(diǎn)坐標(biāo)．