如圖,在△ABC中,∠A=60°,點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),點(diǎn)F是兩條外角平分線,點(diǎn)A1是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD平分線的交點(diǎn)的交點(diǎn).
(1)求∠A1EC的度數(shù);
(2)求∠BFC的度數(shù);
(3)探索∠A1與∠A的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(4)若∠A=100°,在(3)的情況下,作∠A1BC與∠A1CD的平分線交于點(diǎn)A2,以此類(lèi)推,∠AnBC與∠AnCD的平分線交于點(diǎn)An,求∠An的度數(shù).(直接寫(xiě)出結(jié)果)
分析:(1)根據(jù)角平分線定義得到∠EBC=
1
2
∠ABC,∠ECB=
1
2
∠ACB,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BEC=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB)=180°-
1
2
(180°-∠A),然后整理后把∠A=60°代入計(jì)算即可;
(2)根據(jù)角平分線定義得到∠FBC=
1
2
(180°-∠ABC),∠ECB=
1
2
(180°-∠ACB),再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠BFC=180°-
1
2
(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
(180°-∠A),然后把∠A=60°代入計(jì)算即可;
(3)根據(jù)角平分線定義得到∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BD,再根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠A1=∠A1CD-∠A1BD,∠A=∠ACD-∠ABD,則∠A=2∠A1CD-2∠A1BD=2(∠A1CD-∠A1BD)=2∠A1;
(4)根據(jù)(3)的結(jié)論可得到∠An=
∠A
2n
,然后把∠A的度數(shù)代入即可.
解答:解:(1)∵點(diǎn)E是兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn),
∴∠EBC=
1
2
∠ABC,∠ECB=
1
2
∠ACB,
∴∠BEC=180°-
1
2
(∠ABC+∠ACB)=180°-
1
2
(180°-∠A)=90°+
1
2
∠A=120°,
∴∠A1EC=180°-120°=60°;
(2)∵點(diǎn)F是兩條外角平分線,
∴∠FBC=
1
2
(180°-∠ABC),∠ECB=
1
2
(180°-∠ACB),
∴∠BFC=180°-
1
2
(180°-∠ABC+180°-∠ACB)=
1
2
(∠ABC+∠ACB)=
1
2
(180°-∠A)=90°-
1
2
∠A=60°,
(3)∠A1=
1
2
∠A.理由如下:
∵點(diǎn)A1是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACD平分線的交點(diǎn)的交點(diǎn).
∴∠ACD=2∠A1CD,∠ABC=2∠A1BD,
∵∠A1=∠A1CD-∠A1BD,∠A=∠ACD-∠ABD,
∴∠A=2∠A1CD-2∠A1BD=2(∠A1CD-∠A1BD)
∴∠A=2∠A1,
即∠A1=
1
2
∠A;
(4)∠An=
100
2n
點(diǎn)評(píng):本題考查了三角形內(nèi)角和定理:三角形內(nèi)角和是180°.也考查了三角形外角性質(zhì).
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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精英家教網(wǎng)如圖,在△ABC中,AB=AC,且∠A=100°,∠B=
 
度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長(zhǎng)是
16
cm.

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